Darstellung zeigen

20.03.2018, 19:49	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellung zeigen Abend zusammen, ich soll zeigen, dass die Abbildung $\begin{align} \rho :\operatorname{GL}(n,\mathbb{C})\to\operatorname{GL}(H^m_n) \end{align}$ mit $\begin{align} [\rho (A)f](z)=f(A^{-1}z) \end{align}$ und $\begin{align} A\in\operatorname{GL}(n,\mathbb{C}),f\in H^m_n \end{align}$ eine Darstellung ist, wobei $\begin{align} H^m_n \end{align}$ der Vektorraum aller homogenen Polynome von Grad $\begin{align} m \end{align}$ in $\begin{align} n \end{align}$ Variablen ist. Wenn ich das also richtig verstanden habe muss ich für $\begin{align} A,B\in\operatorname{GL}(n,\mathbb{C}) \end{align}$ zeigen, dass $\begin{align} [\rho (AB)f](z)=([\rho (A)\circ \rho (B)]f)(z) \end{align}$ gilt. Meine Idee soweit: $\begin{align} [\rho (AB)f](z)=f([AB]^{-1}z) \end{align}$ . An dieser Stelle müsste man wohl verwenden, dass $\begin{align} f\in H^m_n \end{align}$ ist, also gilt $\begin{align} f(\lambda x) =\lambda^m f(x) \end{align}$ für $\begin{align} \lambda \in\mathbb{C},x\in\mathbb{C}^n \end{align}$ . Leider verstehe ich nicht so recht wie man diese Eigenschaft hier nutzen kann, da $\begin{align} AB\in\operatorname{GL}(n,\mathbb{C}) \end{align}$ , während $\begin{align} \lambda\in\mathbb{C} \end{align}$ . Hoffe jemand kann hier etwas nachhelfen. Gruss Sito
25.03.2018, 00:06	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Darstellung zeigen Hallo, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ homogen ist, spielt hier gar keine Rolle. Die Aussage gilt eigentlich für jeden Raum von Funktionen auf $\begin{eqnarray} \mathbb C^n \end{eqnarray}$ statt nur für $\begin{eqnarray} H_n^m \end{eqnarray}$ (oder allgemeiner für Räume von Funktionen auf einer Menge, auf der die betrachtete Gruppe wirkt). Hier kannst du mal mit $\begin{eqnarray} (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray}$ weiter arbeiten. Falls du inzwischen nicht eh schon fertig bist...
25.03.2018, 20:06	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Beitrag Che Netzer! Das $\begin{align} f \end{align}$ nicht homogen sein muss beruhigt mich gerade etwas, habe die Aufgabe tatsächlich schon gelöst, bzw. mal einen Vorschlag für die Lösung und habe dort nirgendwo vorausgesetzt, dass $\begin{align} f \end{align}$ homogen ist. Meine Idee wäre: $\begin{align} [\rho (AB)f](z)=f([AB]^{-1}z)=f(B^{-1}A^{-1}z)=[\rho(B)f](A^{-1}z)=[\rho(A)\rho(B)f](z) \end{align}$ und damit wäre bewiesen, dass $\begin{align} \rho \end{align}$ eine Darstellung ist.
25.03.2018, 20:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, das war's schon. Spezielle Eigenschaften von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ brauchst du dazu gar nicht.

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