Harmonisches M. <= Geometrisches M. <= Arithmetisches M. beweisen

21.03.2018, 01:21	angel111	Auf diesen Beitrag antworten »
Harmonisches M. <= Geometrisches M. <= Arithmetisches M. beweisen Meine Frage: Hallo. Ich muss folgende Aufgabe bis Donnerstag lösen. HM<=GM<=AM $\begin{eqnarray} \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i} } } \leq \sqrt[n]{Produkt aller x_{i}} \leq \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}}{n} \end{eqnarray}$ Ich muss einen direkten Beweis führen, der zeigt, dass $\begin{eqnarray} \forall a,b,c > 0: \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Hinweis: Betrachte das HM und AM von a+b, b+c und c+a. Meine Ideen: Ich weiß nicht genau wo ich anfangen soll und wie ich zu diesem Ergebnis kommen soll.
21.03.2018, 07:58	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Harmonisches M. <= Geometrisches M. <= Arithmetisches M. beweisen DI AM-HM Ungleichung angewandt auf $\begin{eqnarray} (a+b),(b+c),(c+a) \end{eqnarray}$ liefert: $\begin{eqnarray} \frac{(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c}}. \end{eqnarray}$ Nach Umformung folgt: $\begin{eqnarray} ((a+b)+(a+c)+(b+c))\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\geq 9, \end{eqnarray}$ und somit: $\begin{eqnarray} 2\frac{a+b+c}{b+c}+2\frac{a+b+c}{a+c}+2\frac{a+b+c}{a+b}\geq9. \end{eqnarray}$ Und jetzt steht's eigentlich schon da.
21.03.2018, 22:24	angel111	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Harmonisches M. <= Geometrisches M. <= Arithmetisches M. beweisen wie kommst du auf die letzte Zeile? $\begin{eqnarray} 2\frac{a+b+c}{b+c}+2\frac{a+b+c}{a+c}+2\frac{a+b+c}{a+b}\geq9. \end{eqnarray}$ Es sollte am ende stehen: $\begin{eqnarray} \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} \end{eqnarray}$
22.03.2018, 07:57	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Termumformung: 7. Klasse! $\begin{eqnarray} (\underbrace{(a+b)+(a+c)+(b+c)}_{=2(a+b+c)})\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\geq 9, \end{eqnarray}$ Dann gemäß Distributivgesetz ( $\begin{eqnarray} u\cdot(\frac 1x+\frac 1y+\frac 1z)=\frac ux+\frac uy+\frac uz \end{eqnarray}$ ) ausmultiplizieren. Um dann am Ende über die Ziellinie zu kommen brauchst Du noch etwas Bruchrechnung Beachte folgendes: $\begin{eqnarray} \frac {a+b+c}{a+b}=1+\frac c{a+b}. \end{eqnarray}$

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