Lineares Gleichungssystem

22.03.2018, 10:33	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem Hallo miteinander Ich habe folgendes System gegeben: $\begin{eqnarray} Q \left( \matrix{y \\ x} \right) = \left( \matrix{b \\ f} \right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Q = \left( \matrix{A \ \ B \\ B^T \ \ C} \right) \in \mathbb R^{(n+m) \times (n+m)} \end{eqnarray}$ Zudem gilt: $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray}$ regulär, $\begin{eqnarray} B \in \mathbb R^{n \times m}, C \in \mathbb R^{m \times m}, b \in \mathbb R^{n}, f \in \mathbb R^{m}, x \in \mathbb R^{m}, y \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ Bereits berechnet habe ich die Gleichheit $\begin{eqnarray} f = B^T y + Cx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = A^{-1} (b-Bx) \end{eqnarray}$ Nun soll A symmetrisch und positiv definit sein und C symmetrisch und negativ definit. Daraus folgt, dass Q regulär ist. --> Warum? Einfach deshalb, weil $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ auch symmetrisch positiv definit ist und $\begin{eqnarray} B^T y \end{eqnarray}$ diagonal ist? Danke für alle Hinweise!
22.03.2018, 12:16	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, mit A und C ist auch Q symmetrisch (weil eben oben rechts gerade B und unten links gerade B^T steht), also reell orthogonal diagonalisierbar. Möglichkeit 1: Sei nun $\begin{eqnarray} \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von Q mit zugehörigem Eigenvektor v. Es reicht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lambda\neq 0 \end{eqnarray}$ , evtl kann man das irgendwie geschickt auf die Definitheitseigenschaften von A und C zurückspielen? Möglichkeit 2: Wegen $\begin{eqnarray} (A^{-1})^\top = (A^\top)^{-1} \end{eqnarray}$ sind die Inversen symmetrischer Matrizen wieder symmetrisch. Daher könnte man einen Ansatz aufstellen gemäß $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} A & B \\ B^\top & C \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} X & Z \\ Z^\top & Y \end{pmatrix}\stackrel{!}=E_{n+m} \end{eqnarray}$ , mit X und Y symmetrisch. Dies ergibt die vier matrixwertigen Gleichungen $\begin{eqnarray} AX+BZ^\top = E_n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} AZ+BY=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B^\top X + CZ^\top = 0 \end{eqnarray}$ (bzw. nach Transposition: $\begin{eqnarray} XB+ZC=0 \end{eqnarray}$ ) und $\begin{eqnarray} B^\top Z + CY = E_m \end{eqnarray}$ . Nach etwas Rumbastelei und Rumformerei kommt man damit auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} A & B \\ B^\top & C \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1}(E_n-B(BC^{-1}B^\top-A)^{-1}C^{-1}B^\top) & BC^{-1}(BC^{-1}B^\top-A)^{-1} \\ (BC^{-1}(BC^{-1}B^\top-A)^{-1})^\top & C^{-1}(E_m-B^\top BC^{-1}(BC^{-1}B^\top-A)^{-1})\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet. ) und muss dann nur noch begründen, warum $\begin{eqnarray} BC^{-1}B^\top-A \end{eqnarray}$ invertierbar ist; das geht aber leicht, wenn man berücksichtigt, dass das multiplikative Inverse einer negativ definiten Matrix wiederum negativ definit ist und sich daran selbst bei Kongruenztransformationen mit nicht invertierbaren (zB da nicht quadratischen) Matrizen nichts ändert, außer dass evtl. das Präfix "semi-" hinzukommt; und dass das additive Inverse einer positiv definiten Matrix negativ definit, und die Summe einer symmetrisch negativ definiten und einer symmetrisch negativ semidefiniten Matrix wiederum negativ definit ist. LG sibelius84
22.03.2018, 12:43	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo sibelius84 Danke vielmals für deine Arbeit und deine Hinweise! Dein Kommentar bezüglich dem Präfix "semi-" hat mich noch auf eine Idee gebracht...so unwesentlich ist das Präfix ja dann doch nicht, denn wenn A unverändert bleibt (symmetrisch, pos. definit) und aber C symmetrisch, negativ SEMI-definit, dann kann B doch nicht mehr beliebig sein, damit Q am Schluss wieder regulär ist, oder?
22.03.2018, 13:37	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, das zeigt ja gerade (falls sie stimmt, wo ich bei dieser Komplexität beileibe nicht 100pro sicher bin) die explizite Formel für die Inverse.
22.03.2018, 14:11	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah wow, das wäre ja extrem cool! Ich prüfe das nachher gleich noch mit ein paar Beispielen.
22.03.2018, 18:52	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Probe gemacht und sie hat für den Eintrag oben rechts nicht funktioniert, entweder war ich zu doof zum Rechnen oder ich habe irgendwas falsch transponiert oder falsch sortiert. Es ist ungewohnt, in diesem Zusammenhang derart vertieft in nicht-kommutativen Strukturen rechnen zu müssen. Da rutscht einem leicht mal ein C^-1 oder ein B^T an die falsche Stelle. Man muss da wirklich ausdauernd sein mit ordnungsgemäßer Buchführung und der damit verbundenen Schreibarbeit.
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22.03.2018, 21:39	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs mit 2 Beispielen probiert und habe den Eindruck (ja...sehr mathematisch ^^), dass B wirklich beliebig sein kann. Anfangs dachte ich, dass B positiv definit sein müsste, aber das ist nicht zwingend der Fall, wie mir ein anderes Beispiel gezeigt hat.

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