Bestimmen einer Rekurrenz

22.03.2018, 22:21

analysisStudent

Bestimmen einer Rekurrenz

Meine Frage:
Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen:

Bestimmen Sie eine Formel für $\begin{eqnarray*} f_{n} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ (d. h. eine Rekurrenz in $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_{n-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{n-2} \end{eqnarray*}$ mit den Startwerten $\begin{eqnarray*} f_{0} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{1} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ), sodass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} (1-x+x^{2})*\sum\limits_{n=0}^{\infty } f_{n}*x^{n} )=1 \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Danke im Voraus!

MfG

Meine Ideen:
Hab leider nicht allzu viel eigene Ansätze außer dass bei x=1 die Summe 1 ergeben muss, was man erreichen kann in dem man $\begin{eqnarray*} f_{0}=1/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{n}=f_{n-1}/2 \end{eqnarray*}$ setzt.

Da es wenn ich es richtig interpretiert habe aber für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten soll, weiß ich nicht wirklich weiter.

22.03.2018, 22:24

analysisStudent

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RE: Bestimmen einer Rekurrenz
Da hab ich eine Klammer vergessen:

$\begin{eqnarray*} (1-x+x^{2})*\sum\limits_{n=0}^{\infty } (f_{n}*x^{n} )=1 \end{eqnarray*}$

So ist es richtig.

MfG

23.03.2018, 09:49

HAL 9000

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Es geht darum, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x+x^2} \end{eqnarray*}$ in eine Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} f_nx^n \end{eqnarray*}$ zu entwickeln. Unter der Annahme, dass dies möglich ist mit einem Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ , kann man für alle $\begin{eqnarray*} |x|<R \end{eqnarray*}$ dann umformen

$\begin{eqnarray*} 1 &=& (1-x+x^2)\sum_{n=0}^{\infty} f_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty} f_nx^n - x\sum_{n=0}^{\infty} f_nx^n + x^2\sum_{n=0}^{\infty} f_nx^n\\ &=& \sum_{n=0}^{\infty} f_nx^n - \sum_{n=1}^{\infty} f_{n-1}x^n + \sum_{n=2}^{\infty} f_{n-2}x^n = f_0+(f_1-f_0)x + \sum_{n=2}^{\infty} (f_n-f_{n-1}+f_{n-2})x^n \end{eqnarray*}$

Und nun Koeffizientenvergleich!

Zitat:

Original von analysisStudent
außer dass bei x=1 die Summe 1 ergeben muss

Du nimmst hier einfach an, dass die Reihe für x=1 konvergiert. Da wäre ich mir an deiner Stelle nicht so sicher. unglücklich

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