Qualität der Kepler Fassgleichung

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plumbus Auf diesen Beitrag antworten »
Qualität der Kepler Fassgleichung
Meine Frage:
Ich versuche zu ergründen, wie weit die Keplersche Integralnäherung(Fassgleichung) stimmig ist.
Für einen Parabel dritter wie vierter Ordnung stimmt sie genau.
Bei einer Parabel biquadratischer Ordnung, da stimmt sie nicht mehr.
Das sind bei Kepler eine Menge Summanden überzählig. Da ich aber nicht ide Vorzeichen der Parameter kenne, weiß ich nicht, wie ich das im Ergebnis abscgätzen soll.

Meine Ideen:

Gibt es denn eine allgemeine Aussage über die Genauigkeit der Keplernäherung?
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Qualität der Kepler Fassgleichung
Ich versuche zu ergründen, wie weit die Keplersche Integralnäherung (Fassgleichung) stimmig ist.

Für eine Parabel dritter wie vierter Ordnung stimmt sie genau.

Das stimmt nicht. Exakt ist die Formel für Parabeln zweiter und dritter Ordnung - und auch für konstante und lineare Funktionen.

Bei einer Parabel biquadratischer Ordnung, da stimmt sie nicht mehr.

Das wären dann die Kurven vierter Ordnung.

Da sind bei Kepler eine Menge Summanden überzählig. Da ich aber nicht ide Vorzeichen der Parameter kenne, weiß ich nicht, wie ich das im Ergebnis abschätzen soll.

Je nach dem genauen Beitrag des Gliedes 4. Ordnung kann die Abweichung im Integral natürlich sehr unterschiedlich ausfallen. Wenn die unbekannten Vorzeichen das Problem sind, so kann man doch wohl eine obere Schranke für die Abweichung bestimmen, indem man von allen Einzeltermen die Beträge nimmt und addiert.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Qualität der Kepler Fassgleichung
Hallo plumbus,

ich habe mal meinen CAS-Rechner genommen, um die Abweichung zu berechnen, welche bei der Fassformel entsteht, wenn sie auf eine Polynomfunktion vierten Grades der Form



anwenden. Nach meiner Rechnung ist dann die Abweichung zwischen dem Integral dieser Funktion und dem (falschen) Resultat mittels Fassformel gegeben durch den Term

plumbus Auf diesen Beitrag antworten »

Moin rumar!

Stimmt rumar, da ist mir ein Fehler unterlaufen. Zweiter wie dritter Ordnung muß es natürlich lauten. Sonst gäbe meine Untersuchung zur b i quadratischen Parabel keinen Sinn.

Danke für Deine Berechnung.
Ich komme da (noch) nicht hin.
Bei der Gegenüberstellung zwischen exakter Integration und Kepler bleibt nach Eleminierung aller sich aufhebender Therme(meine Parameter beginnen mit r ff.) bei mir:

Für die exakte Integration:



u. für Kepler:



Ob das Dein Ergebnis in anderer Form darstellt? Vlt. kann da dein Programm weiterhelfenverwirrt Die Rechnungen sind echt mühseelig). Wie geht man mit dem Programm vor um das Ergebnis zu erreichen, das Du mitgeteilt hast?
plumbus Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei Vernachlässigung aller übrigen Glieder ein Manko bei Kepler von



Wir sind einstweilen scheinbar nicht allzuweit voneinander entfernt.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nicht wirklich ein Programm geschrieben, sondern einfach die CAS-Fähigkeit des Rechners genutzt, um mir die komplizierten Terme zu ersparen.

Ich habe es nun nochmals durchgerechnet:







Die Differenz ist dann:



Hier habe ich jetzt absichtlich nicht den Betrag angegeben,
sondern die Differenz inkl. korrektem Vorzeichen. Man könnte
nun also eine "ergänzte Kepler-Formel" angeben, in der man bei
Funktionen 4. Grades nur zusätzlich noch den Korrekturterm
benötigt:






ist dabei einfach der Koeffizient der Potenz im Term von .
 
 
plumbus Auf diesen Beitrag antworten »

rumar:

Kepler minus exaktes Integral ergibt doch im Vergleich ganz Unterschiedliches.

-Kannst Du nicht Dein Ergebnis mit der maschine mal ausführen? Da liesse sich das leichter vergleichen.

-Letztendlich will dich darauf hinaus, ob es nicht eine allgemein gültige Korrekturformel für Kepler gibt. Die sollte es ja geben solange ein exaktes Intergal existiert.

-Wie kam Kepler nur auf sein Ergebnis? Der kannte doch noch keine Integralrechnung. Ganz weit entfernt sehe ich noch etwas aber kann mich nicht wirklich erinnern.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte, dass ich erst jetzt reagiere.

- Kepler minus exaktes Integral ergibt doch im Vergleich ganz Unterschiedliches.

Für den vorliegenden Fall habe ich ja die exakte Formel für die Differenz angegeben.

-Kannst Du nicht Dein Ergebnis mit der Maschine mal ausführen? Da liesse sich das leichter vergleichen.

Anderer Vorschlag: Da wir ja schon wissen, dass die Kepler-Formel bis zum dritten Grad exakt ist, würde es wohl genügen, für das Weitere einfach mal eine Funktion der Form exakt und nach Kepler zu integrieren. Die Differenz müsste allein aus diesem Glied resultieren, da die beteiligten Operationen linear sind.
Nebenbei: ich befürchte, dass wir nicht dieselben Bezeichnungen benützt haben.

- Letztendlich will ich darauf hinaus, ob es nicht eine allgemein gültige Korrekturformel für Kepler gibt. Die sollte es ja geben solange ein exaktes Intergal existiert.

Die angegebene Korrektur gilt für alle Polynomfunktionen 4.Grades. Für Funktionen höherer Ordnung werden die Korrekturterme komplizierter - aber ich bin mir nicht sicher, ob es da überhaupt noch sinnvoll ist, auf die Keplerformel zurückzugreifen.

- Wie kam Kepler nur auf sein Ergebnis? Der kannte doch noch keine Integralrechnung.

Das weiß ich auch nicht. Möglicherweise gab es aber doch schon Vermutungen für gewisse Regeln. Kepler erfand seine Methode, wie man sagt, wirklich noch für den ganz praktischen Zweck, nachzurechnen, ob in den Weinfässern tatsächlich so viel Wein drin war, wie er bestellt hatte und bezahlen musste .....
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