Unterschieber im Delta x

23.03.2018, 16:11

Berti

Unterschieber im Delta x

Hallo Habe eine Frage:

Ich habe eine Logarithmische Skala
x = 1 - 10
dx = ???
y= 0 - 250 mm
dy=0,1 mm

Für x nehme ich = 5

1. Methode $\begin{eqnarray*} y=\frac{250*ln(x)}{ln(10)} \end{eqnarray*}$

Ableitung nach x

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx }=\frac{250}{ln(10)*x} \end{eqnarray*}$

Umstellung nach dx

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{x*ln(10)*dy}{250} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{5*ln(10)*0,1}{250}=0,00460517 \end{eqnarray*}$

2. Methode $\begin{eqnarray*} y=250*log(x) \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{250*log(\frac{x+dx}{x} )}{dx} \end{eqnarray*}$

Umstellung nach dx

$\begin{eqnarray*} dx=x*10^{\left(dy/250\right)}-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=5*10^{\left(0,1/250\right)}-5 =0,00460729 \end{eqnarray*}$

Bei 1 kommt = 0,00460517
Bei 2 Kommt =0,00460729

Es muss bei beiden Methoden exakt der Gleiche Fehler rauskommen, worin liegen die Unterschiede in der Methodik.

Danke Gruß

23.03.2018, 16:33

rumar

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RE: Unterschied im Delta x
Du betrachtest hier einerseits eine Ableitung und andererseits einen Differenzenquotienten, welcher nur in erster Näherung mit dem Ableitungswert übereinstimmt.

Zuerst hatte ich überhaupt Mühe zu verstehen, worum es bei der Frage genau gehen soll...

23.03.2018, 16:35

Helferlein

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Wenn ich das richtig verstehe rechnest Du bei der ersten Methode mit der Tangente, im zweiten Fall mit einer Sekante und diese sind für kleine x ähnlich, aber nicht identisch.

26.03.2018, 16:34

Berti

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Unterschied im Delta x
Hallo,

welche von den Methoden gibt den, den Exakteren wert. Rechnung der Fehler über die Tangente oder Sekante. ?????

Gruß

26.03.2018, 17:06

HAL 9000

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Im ersten Fall hingegen bestimmst du ein $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f'(x)\cdot \Delta x = \Delta y \end{eqnarray*}$ , und das für $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$ bei Funktion $\begin{eqnarray*} f(x):=250\lg(x) \end{eqnarray*}$ .

Im zweiten Fall rechnest du aus, welches $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ dazu führt, dass $\begin{eqnarray*} f(x+\Delta x)-f(x) = \Delta y \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von Berti
welche von den Methoden gibt den, den Exakteren wert. Rechnung der Fehler über die Tangente oder Sekante. ?

Wofür exakteren Wert? Dazu müsstest du die Problemstellung genauer schildern. Statt 2. könntest du etwa auch 3. "nach der anderen Seite" schauen, d.h., $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(x)-f(x-\Delta x) = \Delta y \end{eqnarray*}$ bestimmen, da kommst du dann zu $\begin{eqnarray*} \Delta x = 0.00460305 \end{eqnarray*}$ .

Oder vielleicht doch "symmetrisch", d.h. $\begin{eqnarray*} f\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)-f\left(x-\frac{\Delta x}{2}\right) = \Delta y \end{eqnarray*}$ ? Und da kommt - oh Wunder (oder vielleicht doch nicht?) - mit $\begin{eqnarray*} \Delta x = 0.00460517 \end{eqnarray*}$ zumindest gerundet dasselbe raus wie bei 1. (tatsächlich ist es ohne Rundung nicht genau derselbe Wert). Augenzwinkern

02.04.2018, 22:55

Berti

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Unterschied im Delta x
Hallo,

Problemstellung ist folgendes:

y= 250*log(x)

y ist die strecke in mm beim wert x auf der skala.

Delta y +/- 0,1 mm. Einstell/Ablesefehler

Das bedeutet wenn ich den wert 5 auf der skala einstelle,
mache ich bei der strecke y einen fehler von delta y +/- 0,1 mm .
Das heisst das ich bei der Einstellung, anstelle von wert 5 eigentlich 5 +/- delta x eingestellt habe.

Nun war die frage : mit welche methode kann ich exakt den delta x berechnen.

1. Über die Tangente oder 2. Über Sekante.

Wie man den absoluten Fehler Delta x berechnet habe ich oben geschildert, es geht nur darum, welche Methode mathematisch gesehen den exaktesten wert liefert, alle Methoden liefern bei kleinen x ungefähr den gleichen wert, je x größer wird, werden die unterschiede auch ein wenig größer .z.B der Wert 5 liegt bei 174,74 mm wenn ich +- 0,1 mm einstell Fehler habe, ändert sich entsprechend auch mein wert 5 mit +-Delta x.

Frage: Welche Methode liefert den Exakteren wert, nur Mathematisch gesehen, nicht Praktisch. Gruß

Gruß

11.04.2018, 14:02

Berti

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11.04.2018, 15:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Berti
mache ich bei der strecke y einen fehler von delta y +/- 0,1 mm .
Das heisst das ich bei der Einstellung, anstelle von wert 5 eigentlich 5 +/- delta x eingestellt habe.

Tja, und hier liegt schon der Konstruktionsfehler: Wieso nimmst du an, dass bei gleicher Verschiebung nach links und rechts bei y auch die entstehende x-Verschiebung nach links und rechts gleich groß ist? Dem ist nicht so, da $\begin{eqnarray*} f(x)=250\lg(x) \end{eqnarray*}$ nichtlinear ist. unglücklich

Wenn es also wirklich um "exakt" geht, dann gibt es nicht das $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ , sondern offenkundig zwei verschiedene, nach links sowie rechts:

$\begin{eqnarray*} f(5-\Delta x_1) = y - \Delta y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(5+\Delta x_2) = y + \Delta y \end{eqnarray*}$

Und beide Werte sind ja schon berechnet worden, s.o.: $\begin{eqnarray*} \Delta x_1 = 0.00460305 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta x_2 = 0.00460729 \end{eqnarray*}$

Da man normalerweise nicht so detailversessen auf die sechste Nachkommastelle ist, begnügt man sich in der Fehlerrechnung gewöhnlich mit dem, was du unter Punkt 1 angeführt hattest. Augenzwinkern

11.04.2018, 15:24

rumar

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RE: Unterschied im Delta x
Wenn das "superexakt" sein soll, dann doch eher mit der Sekantenmethode oder etwa so:
Zum Wert x=5 gehört der y-Wert 174.7425 (weitere Dezimalen mal weggelassen).
Wenn auf der y-Skala die Ablesegenauigkeit +/- 0.1 (mm) ist, so könnte also der "wahre" y-Wert zwischen 174.6425 und 174.8425 liegen. Die zu diesen y-Werten gehörigen x-Werte sind dann 4.9954 und 5.0046 (auf 4 Nachkommastellen gerundet). Dann hätten wir also anstatt eine exakte 5 einen Wert im Bereich
$\begin{eqnarray*} 5 \pm 0.0046 \end{eqnarray*}$

Für alle praktischen Zwecke ist dies eigentlich ohnehin schon mehr als genügend genau. Wenn du es noch exakterer willst, dann rechne es selber nochmals durch mit so vielen Dezimalstellen, wie dein Herz begehrt ...

11.04.2018, 16:06

Berti

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Vielen dank an alle.

Habe es verstanden. Gruß

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