Exakte DGL2

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BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »
Exakte DGL2
Hallo alle zusammen habe noch probleme bei der nächsten Aufgabe mit der Ableitung:

dM/dy = 0 linker Teil

Wie leite ich das hier nach x ?
Das stellt mir grosse Probleme dar?


sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die DGL ist äquivalent zu y'=(1/x)·(1+y) und daher mittels Trennung der Variablen lösbar. Da kein x' vorkommt, wüsste ich zunächst nicht, wie man hier einen integrierenden Faktor suchen sollte; denn dies macht man ja gerade bei exakten DGLen (vgl. threadtitel), höchstens indem man das ganze umformt zu

(1/x)·(1-y)dx - 1·dy=0.

Dies ganze multipliziert man nun mit bzw. und wendet das Integrabilitätskriterium an (Ableitung mit Produktregel!), um daraus eine DGL für diese Funktion zu gewinnen.

LG
sibelius84
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst muss ich ja zeigen ,dass die DGL nicht exakt ist ,dafür muss ich ja erstmal nach x und nach y partiell ableiten oder ?

Auf der linken Seite ergibt das ja 0.

Die Form der rechten Seite ist ja:



Das müsste ich ja jetzt nach y ableiten oder nicht ?
Wie im Huggy thread
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
zeigen ,dass die DGL nicht exakt ist ,dafür muss ich ja erstmal nach x und nach y partiell ableiten

p nach y und q nach x ableiten, wobei die gegebene Gleichung , verglichen mit p dx + q dy = 0, auf und führt.

Zitat:
Auf der linken Seite ergibt das ja 0.

Ja, p nach y abgeleitet ist 0. Wenn dieses p mit der 'linken Seite' gemeint ist, dann also: ja.

Zitat:
Die Form der rechten Seite ist ja:

Das müsste ich ja jetzt nach y ableiten oder nicht ?
Aber nur den Faktor vor dem y': Nur das negative von ist nach x abzuleiten.

Der gesuchte integrierende Faktor wird sich dann durch das Integrabilitätskriterium ergeben, wie sibelius84 es schon als Bedingung genannt hat:

Integrabilitätskriterium: , wobei auf der rechten Seite aus der Ableitung nach x "herausgezogen" werden kann, so dass die von sibelius84 angekündigte Produktregel nur auf der linken Seite nötig ist.

Zur Übung sollte vermutlich auch auf einen integrierenden Faktor getestet werden.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach x abgeleitet der Bruch:



PASST die Ableitung?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
abgeleitet der Bruch
welcher Bruch?
 
 
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BYSON21
Zuerst muss ich ja zeigen ,dass die DGL nicht exakt ist ,dafür muss ich ja erstmal nach x und nach y partiell ableiten oder ?

Auf der linken Seite ergibt das ja 0.

Die Form der rechten Seite ist ja:



Das müsste ich ja jetzt nach y ableiten oder nicht ?
Wie im Huggy thread


Diesen Bruch habe ich abgeleitet ?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mal eine Gleichung schreiben, auf deren linker Seite das steht, was abgeleitet werden soll und auf deren rechter Seite die Ableitung steht, die nach dem Ableiten ergibt?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

... auf deren rechter Seite die Ableitung steht, die sich nach dem Ableiten ergibt. Also sowas wie
, dem irgendwas in der Art von ... vorangestellt ist. Natürlich so, dass die 3er-Pünktchen jeweils ersetzt worden sind.
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zähler von
Zitat:
[..] der Bruch:
PASST d[..]
fehlt übrigens eine schließende Klammer. Kann also schon deswegen NICHT passen.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

, dem irgendwas in der Art von



Weiter vereinfacht bekomme ich das nicht?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Natürlich so, dass die 3er-Pünktchen jeweils ersetzt worden sind.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit den 3 er Pünktchen ? geschockt

Bin verwirrt ?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
von kaasi
Kannst du mal eine Gleichung schreiben, auf deren linker Seite das steht, was abgeleitet werden soll und auf deren rechter Seite die Ableitung steht, die sich nach dem Ableiten ergibt?

In die Mitte: ein Gleichheitszeichen.
Links von dem Gleichheitszeichen: Das, was du ableiten willst (heißt das Differentiand?)
Rechts von dem Gleichheitszeichen: Das, was sich als Ableitung ergeben soll.

So dass da eine Aussage steht, die ich mit ja oder nein bewerten kann.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Kurzer Einwurf von der Seitenlinie:

Beispiel:

Da möchte kaasi dann, dass du (anstatt etwa "Ist die Ableitung 3x² richtig?") schreibst:

,

.

(Eben dass links f'(x) bzw. auch steht, damit man nachvollziehen kann, was du gerade benennst.)

Dann könnte kaasi sagen, deine Ableitung für f ist korrekt, aber die für g nicht.

(so, ziehe mich wieder zurück - viel Spaß und Erfolg weiterhin smile )
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sibelius84 smile .

Es darf auch sowas sein wie: "hier steht das, was ich ableiten will: ..."
und danach: "hier steht das, was sich als Ableitung daraus ergibt: ..."

Das kann ich auch bewerten. Von mir aus auch mit g und g' vorangestellt.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BYSON21
, dem irgendwas in der Art von



Weiter vereinfacht bekomme ich das nicht?


Passt? Big Laugh

Jetzt besser ?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht besser.
BYSON21, du hast dir auch über eine halbe Stunde nach meinem Hinweis nicht die Mühe gemacht, die fehlende schließende Klammer zu ergänzen. Aber ich postuliere jetzt einfach mal, dass das Ergebnis sowieso falsch ist. Begründung siehe unten (#).


Aus dem Gebrauch von M im Anfangsposting
Zitat:
von BYSON21 dM/dy = 0 linker Teil
hatte ich fälschlicherweise vermutet, dass schon (woher auch immer) bekannt sei, dass das M ein nicht von y abhängender integrierender Faktor sein solle und dass der dem Bruch in
Zitat:
Wie leite ich das hier nach x ?
Das stellt mir grosse Probleme dar?



vorangestellte Punkt eine alternative Schreibweise für ein Malzeichen sein solle.

Mittlerweile merkte ich, dass die ganze Zeit unklar ist, wie sich die Ableitung von nach x ergibt.

(#) Es ergibt sich jedenfalls kein Bruch, in dem im Nenner sowas wie hier
Zitat:
von BYSON21
Nach x abgeleitet der Bruch:



PASST die Ableitung?

steht.
(#) BYSON21, prüf mal kritisch die Nenner vor und nach Anwendung der Quotientenregel. Insbesondere Positionen von Pluszeichen und Malzeichen.
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »
@sibelius84 wegen "Da kein x' vorkommt"
Da BYSON21 nun schon länger abwesend scheint, will ich mal eine Rückfrage

@sibelius84

einschieben.
Zitat:
von sibelius84
ist äquivalent zu y'=(1/x)·(1+y) [und auch lösbar mit Trennung der Variablen].

Da kein x' vorkommt, wüsste ich zunächst nicht, wie man hier einen integrierenden Faktor suchen sollte; denn dies macht man ja gerade bei exakten DGLen


Was soll "Da kein x' vorkommt," (hier) bedeuten? Was für ein x' könnte denn (sonst) vorkommen?

Ich kenne den üblichen Lösungsweg zur Überprüfung oder Herstellung von Exaktheit auch so, dass
Zitat:
man das ganze (ggf. mit einem anderen Faktor(x,y)) umformt zu
(1/x)·(1-y)dx - 1·dy=0.
, soll da was in so einer Form entstehen:
(1/x)·(1-y)dx/dy - 1=0
(1/x)·(1-y)x' - 1=0, ist also so ein darin vorkommendes x' gemeint?
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Bin noch da . Aber finde nicht meinen Fehler?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »
Thema: Ableitungsregel anwenden
Fürs nächste Mal:
Du kannst die Aufgabenstellung der kompletten Aufgabe auf später verschieben (und dafür ggf. einen eigenen Thread aufmachen, nachdem du die Vorbedingungen beherrschst), wenn du weißt, dass du zunächst nur Probleme mit der Ableitung von
Zitat:
hast. Die darum herum gebastelte Aufgabe mit der Differentialgleichung spielt doch bei dieser Detailfrage bis hierher keine Rolle.

Als Vorbedingung willst du also die Ableitung von nach x beherrschen. Dafür hast du die Quotientenregel zur Verfügung. Jetzt nehmen wir mal weitere Buchstaben u und v als Platzhalter mit herein.

Quotientenregel, also Ableitungsregel für den Quotient von zwei Funktionen

lautet nun für diesen allgemeinen Fall ... wie? Bitte die rechte Seite hinter dem "="-Zeichen ausfüllen, aber vorher u(x) und v(x) aufschreiben, also u(x)=
.
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist wieder eine halbe Stunde ohne Meldung vergangen. Hast du ein Problem damit, das u(x) anzugeben?
An deiner Ableitung von 17 Uhr kann man doch erahnen, dass du eine grobe Vorahnung vom Ableiten nach Quotientenregel hast. Denn einige Details der Quotientenregel passen, wohingegen andere nicht passen, die das Ganze dann falsch machen (abgesehen von der fehlenden schließenden Klammer).

Ich erwarte innerhalb der nächsten fünf Minuten, das u(x)= ... von dir aufgeschrieben zu bekommen.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid war kurz weg .

Quotientenregel :

(u'*v-v'*u)/(v^2)

u(x) = -1

v(x) = (x+x*y)

u'(x) = 0

v'(x) = 1+y

Passt soweit ?

Hoffentlich noch da?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, u'(x) und v'(x) stimmen. Dann setz alles ein und schreib für die partielle Ableitung nach x, also q'(x), auf.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

linke Seite



Rechte Seite




Punkt vor Strich:


Ok?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

linke Seite


Ja, das ist richtig.

Wenn man die gegebene Gleichung mit p dx + q dy = 0 identifiziert, dann ist insbesondere die linke Seite interessant, weil auf der rechten nur Null steht. Ich weiß nicht, ob du da sonst noch Musteraufgaben mit diesem Sprachgebrauch vorliegen hast, aber "linke Seite" - "rechte Seite" kenne ich beim Thema "Exakte Differentialgleichung" nicht. Ich würde mich von "linke Seite" - "rechte Seite" verabschieden, wenn keine Gegenargumente vorliegen, sondern alles so aufschreiben, dass rechts ne Null steht.

Zitat:

Rechte Seite


(#) Den Großbuchstaben Q wollte ich eigentlich erst in Pdx + Qdy=0 benutzen, nachdem wir einen integrierenden Faktor M gefunden haben. Mein Plan für die Bezeichner war: Das Produkt aus q und dem integrierenden Faktor M ergibt das neue Q.

Das v²(x) im Nenner kann man noch besser schreiben, aber es stimmt diesmal. Aaaber im Zähler von (u'*v-v'*u)/(v^2) hast du das (u'*v-v'*u) falsch angewendet. Alles nochmal und wegen (#) bitte mit kleinem Buchstaben q():
<--- korrigierten Zaehler hier einsetzen

Zitat:

Punkt vor Strich:

Da fehlt schon wieder ne schließende Klammer.
Zitat:

Und in den von vorher falschen Term dieser Aussage ist noch eine ganz, ganz üble Ausklammerung eingeflossen.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein das beim Zähler der erste Teil weg fällt ?

-1 abgeleitet ist 0 daher ?

ISt das der Fehler ?
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

<--- korrigierten Zaehler hier einsetzen

Passt?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung von -1 nach x muss zu 0 werden, richtig.
Zitat:
von BYSON21

Passt. Aber überleg dir mal, wie du den Nenner noch anders schreiben kannst.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Passt die Rechnung soweit ?
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Integrierende Faktor ist nach der Substitution x und wenn man das ganze mit der Ursprungs Dgl mal nimmt ,wird die Dgl exakt.

Richtig ?
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie fehlt mir bei dem Bild matheboard.de/attachment.php?attachmentid=46778 eine angenehm lesbare Vergrößerung. Je mehr ich es zoome, um so mehr wird auch dessen Rasterstruktur mit vergrößert.

Bis zur Gleichung kann ich alles lesen, aber die Gleichung daneben (die dritte Gleichung in der Zeile) kann ich nur raten als M(x,y)=x. Ist aber okay ... wenns dir so reicht Augenzwinkern

Die Struktur des zweiten Terms in der dritten Zeile kommt mir bekannt vor als eine Möglichkeit der Suche nach der Gestalt von M(x,y). Rest sehr sehr schlecht für mich entzifferbar.

Zitat:
Der Integrierende Faktor ist nach der Substitution x und wenn man das ganze mit der Ursprungs Dgl mal nimmt ,wird die Dgl exakt.

Richtig ?


Ein integrierender Faktor ist x, richtig, ich verstehe nur nicht, was für eine Substitution du meinst.




Ob die Dgl. damit exakt wird, lässt sich ja überprüfen. Ausgehend von der vorgegebenen Dgl. (mit in dy und dx aufgeteilt umgeschriebenem y') hatten wir also p dx + q dy = 0 mit und und mit M(x,y)=M(x)=x multipliziert ergibt sich mit P=Mp und Q=Mq:
P dx + Q dy = 0, und diese ist exakt, weil gilt.
kaasi Auf diesen Beitrag antworten »
alternativ noch M=M(y) finden
Wenn du dir das ordentlich aufgeschrieben hast, dann hast du die Minimalanforderung der Aufgabenstellung
Zitat:
Man gebe für die Differentialgleichung [...] einen integrierenden Faktor an
erfüllt, indem du obiges M(x,y)=M(x)=x angibst.

Um zu zeigen, dass du den Lösungsweg vorn (von der Aufgabenstellung) bis hinten (ganz hinten wäre die hier nicht verlangte Angabe der allgemeinen Lösung der Dgl.) verstanden hast, wäre es angebracht, jetzt mal einen anderen integrierenden Faktor zu finden. Nicht immer lässt sich leicht ein weiterer finden, aber bei dieser Dgl. hier schon.

Zur Übung könntest du also einen nur von y abhängigen integrierenden Faktor M(x,y)=M(y)=... suchen und finden. Es läuft (ganz am Ende) darauf hinaus, dass die aus p dx + q dy = 0 durch Multiplikation mit diesem M(y) entstehende exakte Dgl. dieselbe Lösung hat wie die obige P dx + Q dy = 0.
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