Zeigen dass sin(x) >= x/2 auf [0, pi/2]

24.03.2018, 10:44

joh423

Zeigen dass sin(x) >= x/2 auf [0, pi/2]

Hallo!

Wie kann ich am besten zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sin(x) \ge \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0, \pi/2 ] \end{eqnarray*}$ . Ich dachte zuerst daran, es an den Intervallendpunkten zu zeigen und dann mit der strengen Monotonie zu argumentieren aber das ist ja nicht ausreichend...

24.03.2018, 11:10

sibelius84

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Hi,

was steht dir denn dafür schon alles zur Verfügung? Darfst du bspw die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ verwenden? Dann würde ich das so machen:

Aus Obigem ergibt sich nach Umformung
$\begin{eqnarray*} \sin(x) = x - \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{x^{4n-1}}{(4n-1)!}-\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}\right) \end{eqnarray*}$ .
Wenn du jetzt noch die Brüche auf einen Nenner bringst und überlegst, welches Vorzeichen die resultierenden Summanden haben, hast du es eigentlich schon, bzw. du hast dann sogar die für x >= 0 gültige Ungleichung $\begin{eqnarray*} x\geq \sin(x) \end{eqnarray*}$ bewiesen.

LG
sibelius84

edit: Oh Nein. Ich habe die falsche Aufgabe bearbeitet. Wer lesen kann, ist klar im Vorteil. Diese Aufgabe geht vielleicht im Detail etwas anders, im Prinzip aber analog:

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac x 2 + \frac 1 6 \left(3x-x^3\right) + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}-\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}\right) \end{eqnarray*}$ .

Für die unendliche Summe kannst du analog argumentieren wie oben; es folgt, dass sie >= 0 ist. Also musst du nur noch den Term $\begin{eqnarray*} \frac 1 6 \left(3x-x^3\right) \end{eqnarray*}$ betrachten und zeigen, dass er ebenfalls >= 0 bleibt für 0 <= x <= pi/2. (Betrachte etwa Nullstellen und Vorzeichenintervalle dieses Terms.)

24.03.2018, 11:42

joh423

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Okay danke die Argumentation versteh ich und die Potenzreihendarstellung kenne ich aber wie genau formt man da um? Das verstehe ich noch nicht ganz. Ein Indexshift oder was passiert hier?

24.03.2018, 13:24

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$ ist im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ konkav, sieht man etwa durch $\begin{eqnarray*} f''(x)=-\sin(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt

$\begin{eqnarray*} f\left((1-\lambda)\cdot 0+\lambda\cdot \frac{\pi}{2}\right) \geq (1-\lambda)\cdot f(0) + \lambda\cdot f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \lambda \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in [0,1] \end{eqnarray*}$ ,

mit $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{2}{\pi} x \end{eqnarray*}$ folgt daraus $\begin{eqnarray*} f(x) \geq \frac{2}{\pi} x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ , das ist sogar noch etwas mehr als das was nachzuweisen war.

24.03.2018, 13:29

rumar

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RE: Zeigen dass sin(x) >= x/2 auf [0, pi/2]
Gerade hat offenbar HAL 9000 genau den Beitrag geschrieben, den ich gerade liefern wollte. Also mittels Begriffen wie Stetigkeit und Monotonie (auch der Ableitung).
Wenn kein Beweis aufgrund von Potenzreihen verlangt ist, würde ich jedenfalls auf Potenzreihen verzichten.

24.03.2018, 18:01

sibelius84

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HAL hat ja angemerkt, dass die behauptete Abschätzung nicht scharf ist. Dies muss didaktische Gründe haben, etwa dass man die Potenzreihe verwenden soll. Aus dieser Spekulation heraus hatte ich die Potenzreihe verwendet. Außerdem sind Potenzreihen cool Augenzwinkern

24.03.2018, 20:03

rumar

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In einer Aufgabe nicht eine "scharfe" Ungleichung (die gerade ganz knapp erfüllt ist) zum Beweis vorzulegen, kann auch ganz andere Gründe haben. Oft geben nämlich die Terme in einer "scharfen" Ungleichung schon Hinweise auf den Lösungsweg, die vielleicht nicht erwünscht sind, weil sie die Lösung fast trivial machen könnten.

27.03.2018, 00:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von sibelius84
Dies muss didaktische Gründe haben, etwa dass man die Potenzreihe verwenden soll.

Nach dieser schrägen Logik muss (?!) man also, weil die Ungleichung schwächer ist, auf den naheliegenden Lösungsweg der scharfen Ungleichung verzichten. ROFL

27.03.2018, 15:38

sibelius84

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Man muss bekanntlich gar nichts, schon gar nicht aufgrund von Spekulationen. Um es nicht wieder so lang zu machen: individuell-künstlerisch-mathematische Freiheit. Augenzwinkern

27.03.2018, 16:24

HAL 9000

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Man kann natürlich auch die Original-Ungleichung belassen, dafür aber den Geltungsbereich erweitern, um es wenigstens ein bisschen interessant zu machen. Also sowas wie

$\begin{eqnarray*} \sin(x) \geq \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in [0,1.89] \end{eqnarray*}$ . Big Laugh

Der obige Beweis ändert sich dadurch kaum, schließlich ist $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ konkav.

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