Aufgabe zu Gruppen/Untergruppen

24.03.2018, 15:42

Orly

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Aufgabe zu Gruppen/Untergruppen

Hallo,

vom Verständnis her habe ich mit der Aufgabe eigentlich keine Probleme gehabt, aber dann einen schlüssigen Beweis auf Papier zu bringen fällt mir manchmal noch schwer. Diese Aufgabe brauche ich allerdings 100% gelöst und würde euch deshalb gerne bitten zu kontrollieren, ob ich das so machen kann oder ob es eine bessere Möglichkeit gibt.

[attach]46771[/attach]

Aufgabenteil (i) ist klar, Gruppen- bzw. Untergruppenaxiome nennen.

(ii)

a) Sei n=1 und wähle $\begin{eqnarray*} a_{i} \in A \end{eqnarray*}$ dann folgt $\begin{eqnarray*} a_{i} \in erz(A) \end{eqnarray*}$ und es folgt $\begin{eqnarray*} a_{i}^{-1} \in erz(A) \end{eqnarray*}$

Sei n=2 und $\begin{eqnarray*} a_{i}, a_{n} \in A \end{eqnarray*}$ dann folgt $\begin{eqnarray*} a_{i} * a_{n} \in erzA \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich, dass dies für alle n gilt?

b) Ist doch wieder dasselbe Spiel. Wenn für U die Untergruppenaxiome gelten und A Teilmenge von U ist, dann müssen für alle a in A alle möglichen Produkte sowie alle Inversen zu a in A innerhalb von U liegen, und wie oben bewiesen bilden alle a, $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ und alle daraus möglichen Produkte genau erz(A) also ist erz(A) in U.

c) Sei A={a} dann ist erz(A)={a, $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ , e}

Danke schon mal für Feedback/Korrekturen.

24.03.2018, 17:59

tatmas

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Hallo,

a) Die Produkte haben beliebige Länge. Sich auf eine Länge festzulegen ist nicht sinnvoll, außer du willst unbedingt eine Induktion machen.
Es reicht hier vollkommen mit dem allgemeinen Term zu arbeiten.
P.S: Wenn n=1, dann muss hier i=1 sein. Wenn n=2, dann kommt im Index auch kein n mehr vor sondern 2.
b) kann man so durchgehen lassen.
c) Wass ist mit a²?

24.03.2018, 18:03

Elvis

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@Orly
Ich glaube du irrst, wenn du denkst, dass du keine Probleme mit dem Verständnis hast. So wie ich das sehe hast du gar nichts verstanden. Denk mal an die lineare Algebra zurück und daran, was man als das Erzeugnis <M> einer Teilmenge M eines Vektorraums V bezeichnet. Das ist ein UVR von V, besteht aus allen Linearkombinationen von Vektoren aus M und ist charakterisiert als kleinster UVR der M enthält und ist auch der Durchschnitt alle M enthaltenden UVRe von V. So ähnlich ist die Situation hier auch, und mit dieser bildlichen Vorstellung kannst du an die Beweise gehen.

24.03.2018, 18:45

Orly

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Zitat:

Original von Elvis
@Orly
Ich glaube du irrst, wenn du denkst, dass du keine Probleme mit dem Verständnis hast. So wie ich das sehe hast du gar nichts verstanden. Denk mal an die lineare Algebra zurück und daran, was man als das Erzeugnis <M> einer Teilmenge M eines Vektorraums V bezeichnet. Das ist ein UVR von V, besteht aus allen Linearkombinationen von Vektoren aus M und ist charakterisiert als kleinster UVR der M enthält und ist auch der Durchschnitt alle M enthaltenden UVRe von V. So ähnlich ist die Situation hier auch, und mit dieser bildlichen Vorstellung kannst du an die Beweise gehen.

Verstehe ich nicht, warum ich an Vektorräume denken soll, wenn wir doch hier nur mit Gruppen arbeiten. Wenn ich ich meinen Beweis oben von der Gruppe auf einen Vektorraum übertragen würde, dann kann ich alles was du sagst voll nachvollziehen, aber das, was du sagst erscheint mir nur das Äquivalent zu meinem Beweis für den Fall dass man VR statt Gruppen betrachtet.

24.03.2018, 18:47

DerJoker

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Zitat:

Original von Elvis
Denk mal an die lineare Algebra zurück und daran, was man als das Erzeugnis <M> einer Teilmenge M eines Vektorraums V bezeichnet.

Das setzt aber voraus dass man dies schon in Linearer Algebra hatte. Beziehungsweise überhaupt schon Lineare Algebra hört. Dies muss aber gar nicht der Fall sein. Ich hatte diese Aussage in einer anderen Vorlesung zunächst als Übungsaufgabe. Erst etwas später habe ich LA gehört. Der TS kann also mit dem Begriff "Erzeugnis" möglicherweise nichts anfangen

24.03.2018, 18:53

Orly

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Zitat:

Original von tatmas
Hallo,

a) Die Produkte haben beliebige Länge. Sich auf eine Länge festzulegen ist nicht sinnvoll, außer du willst unbedingt eine Induktion machen.
Es reicht hier vollkommen mit dem allgemeinen Term zu arbeiten.
P.S: Wenn n=1, dann muss hier i=1 sein. Wenn n=2, dann kommt im Index auch kein n mehr vor sondern 2.
b) kann man so durchgehen lassen.
c) Wass ist mit a²?

Danke. Und ja, was ist mit a^2? Das habe ich mir auch überlegt. Kann das mit sich selbst multipliziert werden, dann läge es ja in der Menge. Kann es beliebig oft miteinander multipliziert werden, dann läge einfach a^n in der Menge?

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24.03.2018, 18:57

Elvis

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@Orly
Ich bin davon ausgegangen, dass du die Begriffsbildungen der linearen Algebra kennst. Für Gruppen hast du leider nichts bewiesen, deswegen wollte ich dich darauf hinweisen, dass die Beweise für Erzeugnisse von Mengen $\begin{eqnarray*} A\subset G \end{eqnarray*}$ praktisch genau so funktionieren wie die Beweise für Erzeugnisse von Mengen $\begin{eqnarray*} M\subset V \end{eqnarray*}$ . An der Namensgebung müsste das doch schon auffallen, die ist nicht zufällig so gewählt sondern mit voller Absicht.

Sorry, zu viele Helfer gleichzeitig am Werk. Ich halte mich erst mal zurück.

24.03.2018, 20:03

Orly

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Zitat:

Original von Elvis
@Orly
Ich bin davon ausgegangen, dass du die Begriffsbildungen der linearen Algebra kennst. Für Gruppen hast du leider nichts bewiesen, deswegen wollte ich dich darauf hinweisen, dass die Beweise für Erzeugnisse von Mengen $\begin{eqnarray*} A\subset G \end{eqnarray*}$ praktisch genau so funktionieren wie die Beweise für Erzeugnisse von Mengen $\begin{eqnarray*} M\subset V \end{eqnarray*}$ . An der Namensgebung müsste das doch schon auffallen, die ist nicht zufällig so gewählt sondern mit voller Absicht.

Sorry, zu viele Helfer gleichzeitig am Werk. Ich halte mich erst mal zurück.

Im Moment hilft mir hier niemand weiter, also bleibe doch ruhig da smile

smile

Ich verstehe schon das Erzeugnis im Bezug auf den Vektorraum und ich erkenne auch Parallelitäten davon zu dem, was ich gerade versuche für Gruppen zu beweisen. Da ich allerdings den "Beweis" für Vektorräume noch nicht probiert habe (anscheinend scheitere ich ja schon in der Gruppe) erklärt sich mir auch noch nicht warum das, was ich gemacht habe, so falsch ist. Warum sagst du denn ich habe nichts bewiesen?

24.03.2018, 20:25

tatmas

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Ich sage auch du hast noch nicht wirklich was bewisen, siehe Punkt a)
Und zur c) ja die gehören natürlich dazu.

Bzgl. Vektorräume:
Das ist ein extrem ähnlicher Beweis. Und es ist oft der Fall, dass zuerst Vektorräume und dann erst Gruppen betrachtet werden. Der Schwierigkeitsgrad bei beiden Beweisen ist identisch.

24.03.2018, 20:48

Orly

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Ich glaube ich habe verstanden warum ich Quatsch gemacht habe. Ich hab eigentlich nur gezeigt was in erz(A) liegt aber eigentlich überhaupt nicht bewiesen, dass erz(A) eine Untergruppe von G ist. Richtig?

24.03.2018, 20:58

tatmas

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Was in erz(A) liegt ist nicht groß zu zeigen, das steht in der Defintion.
Und ja, du hast in der a) nichts gezeigt.

24.03.2018, 22:13

Elvis

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Es ist viel schlimmer als du glaubst, denn du hast noch nicht verstanden, welche Elemente in erz(A) liegen. Wenn du das begriffen hast, musst du nur noch das Untergruppen-Kriterium anwenden. Genau so, wie bei Vektorräumen das UVR-Kriterium benutzt wird.

25.03.2018, 09:27

Elvis

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Untergruppen-Kriterium: erz(A) darf nicht leer sein und muss zu je zwei Elementen deren Produkt und zu jedem Element dessen Inverses enthalten.
Da haben wir ein Problemchen mit der Aufgabe. Wenn A leer ist, ist erz(A) auch leer, also keine Untergruppe.
Tipp: Korrigiere die Aufgabe, verstehe die Definition und beweise das Untergruppen-Kriterium für erz(A).
(Wie du siehst ist das genau wie bei UVRen. Die leere Menge erzeugt auch keinen UVR.)

25.03.2018, 09:38

IfindU

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RE: Aufgabe zu Gruppen/Untergruppen
@Elvis
Wenn $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann kann man $\begin{eqnarray*} erz(\emptyset) \end{eqnarray*}$ als die Menge des leeren Produkts auffassen. Definiert man dieses als neutrale Element, wie es üblich ist, stimmt die Aussage auch dafür Big Laugh

Big Laugh

25.03.2018, 11:39

Elvis

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Das geht als Ergänzung für die Aufgabe auch, verträgt sich aber nicht so richtig mit der Definition $\begin{eqnarray*} erz(A)=\{a_1\cdot ...\cdot a_n:n\in\mathbb N,a_i\in A \vee a_i^{-1}\in A \} \end{eqnarray*}$ . Jedenfalls sollte man das "Pünktchen-Produkt" $\begin{eqnarray*} a_1\cdot ... \cdot a_n \end{eqnarray*}$ durch das wohldefinierte Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^na_i \end{eqnarray*}$ ersetzen. Das kann für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ gerne das leere Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^0a_i=1 \end{eqnarray*}$ sein, während $\begin{eqnarray*} a_1\cdot ... \cdot a_0 \end{eqnarray*}$ doch sehr verdächtig aussieht.
(Wenn man es richtig anstellt, erzeugt die leere Menge genau so mit der leeren Summe als Nullvektor den Nullraum.)

25.03.2018, 15:31

Orly

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Ich probiere es nochmal:

(ii)

a) Untergruppenaxiome für erz(A) zeigen:

Wähle n=0 so ist a^0 = 1 also liegt die 1 im erz(A) ist das neutrale Element e. Sei a=a1*...*an und b=b1*...*bm Elemente aus erz(A) so liegt auch das Produkt a1*...*an*b1*...*bm in erz(A).

Analog dazu seien zwei Elemente a=a^-n*...*a^-1 und b=b^-m*...*b^-n aus erz(A) dann sieht man sofort, dass das Produkt beider ebenfalls ein Element von erz(A) ist.

b) Würde ich immer noch in Worten so zeigen wie ich ursprünglich gemacht hatte, oder gibt es einen schöneren Weg?

c) A={a} dann ist erz(A)={...,a^-2,a^-1,e,a^1,a^2,a^3,..}

Bin ich jetzt näher dran?

25.03.2018, 18:18

Elvis

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zu a) (i) $\begin{eqnarray*} a^0=1\in A \end{eqnarray*}$ kannst du nur sagen, wenn es ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gibt. In diesem Fall musst du beweisen, dass $\begin{eqnarray*} a^0=1 \end{eqnarray*}$ ist. Warum ist das so ? (Vermutlich einfach per def). Es geht aber noch viel einfacher : Wenn es ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gibt, dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht leer. Den anderen Fall, dass $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$ leer ist, haben IfindU und ich diskutiert.
(ii) Die Sache mit dem Produkt ist okay.
(iii) Die Sache mit dem Inversen ist nicht schlüssig. Du musst für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in erz(A) \end{eqnarray*}$ beweisen, dass $\begin{eqnarray*} x^{-1}\in erz(A) \end{eqnarray*}$ liegt.
zu b) Das scheint in Worten in Ordnung zu sein. Mach es noch ein bißchen formaler, dann sieht man, ob du es wirklich richtig verstanden und formuliert hast oder nicht.
zu c) Näher dran, ja. Auch hier steckt heimlich die Definition $\begin{eqnarray*} a^0=e \end{eqnarray*}$ drin. Man nennt eine solche Gruppe zyklisch mit Erzeuger $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Nun gibt es zwei Fälle: (i) $\begin{eqnarray*} erz(A)=a^{\mathbb Z}\cong\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , die Gruppe sieht dann so aus, wie du sie aufgeschrieben hast. (ii) $\begin{eqnarray*} erz(A) \end{eqnarray*}$ ist endlich, dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^m=1 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} erz(A)=\{a,a^2,...,a^m=1\} \end{eqnarray*}$ ist dann die zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

25.03.2018, 18:57

Orly

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Zitat:

Original von Elvis
(iii) Die Sache mit dem Inversen ist nicht schlüssig. Du musst für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in erz(A) \end{eqnarray*}$ beweisen, dass $\begin{eqnarray*} x^{-1}\in erz(A) \end{eqnarray*}$ liegt.

zu b) Das scheint in Worten in Ordnung zu sein. Mach es noch ein bißchen formaler, dann sieht man, ob du es wirklich richtig verstanden und formuliert hast oder nicht.

(iii) Sei x in A, wähle n=1 und a1=-x dann ist -x^(-1)=x Element von erz(A)

zu b) Ist U eine Untergruppe und A eine Teilmenge von U, so gelten die Untergruppenaxiome für alle a in A. Daraus folgt, dass alle Inversen zu Elementen aus A sowie alle möglichen Produkte von Elementen aus A und derer Inversen ebenfalls in U liegen und diese Menge entspricht gerade dem erz(A) also liegt es ebenfalls in U.

25.03.2018, 19:13

Elvis

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a)(iii) Nein. Gib das zu $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^na_k\in erz(A) \end{eqnarray*}$ inverse Element an. Dann sieht man, dass dieses in $\begin{eqnarray*} erz(A) \end{eqnarray*}$ liegt.
Tipp: $\begin{eqnarray*} (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1} \end{eqnarray*}$

b) Formal: $\begin{eqnarray*} A\subseteq U\le G \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ abgeschlossen gegen Produktbildung und Inversenbildung, also $\begin{eqnarray*} erz(A) \subseteq U \end{eqnarray*}$ nach Definition von $\begin{eqnarray*} erz(A) \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} erz(A) \end{eqnarray*}$ nur endliche Produkte von Elemente aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthält.
Noch formaler (Mengenlehre): $\begin{eqnarray*} x\in erz(A)\Rightarrow x=\prod_{k=1}^na_k, a_k\in U\Rightarrow x\in U \end{eqnarray*}$

25.03.2018, 19:52

Orly

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Zitat:

Original von Elvis
a)(iii) Nein. Gib das zu $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^na_k\in erz(A) \end{eqnarray*}$ inverse Element an. Dann sieht man, dass dieses in $\begin{eqnarray*} erz(A) \end{eqnarray*}$ liegt.

Das von dir beschriebene Produkt sieht dann so aus: a1*...*an

Das Inverse ist dann (a1*...*an)^-1 also a1^-1*...*an^-1?

Da ((a1*..*an)^-1)^1 = a1*...*an und a1,...,an aus A? Das Inverse eines beliebigen Elementes aus erz(A) ist also ein Produkt aus Inversen von Elementen in erz(A) und ist deshalb per Definition (a1 oder a^-1 aus A) in erz(A) enthalten?

25.03.2018, 22:27

Elvis

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Hast du nie in lineare Algebra gelernt, wie man das Produkt von 2 Matrizen invertiert ? Genau so geht es hier auch, denn die Gruppe der invertierbaren Matrizen ist eine Gruppe. Außerdem habe ich noch im Tipp aufgeschrieben, wie es geht.

25.03.2018, 22:45

Orly

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Zitat:

Original von Elvis
Hast du nie in lineare Algebra gelernt, wie man das Produkt von 2 Matrizen invertiert ? Genau so geht es hier auch, denn die Gruppe der invertierbaren Matrizen ist eine Gruppe. Außerdem habe ich noch im Tipp aufgeschrieben, wie es geht.

Das Produkt von 2 Matrizen ist wieder eine Matrix. Ich invertiere eine Matrix indem ich Sie zur Einheitsmatrix umforme und gleichzeitig alle Operationen parallel an einer Einheitsmatrix durchführe, die liefert mir dann das Inverse. Wie man das auf mein momentanes Problem überträgt weiß ich nicht.

Als du den Tipp angefügt hast, war ich bereits dabei meine Antwort zu formulieren aber wie ich dann gesehen habe, habe ich deinen Tipp ohnehin verwendet "Das Inverse ist dann (a1*...*an)^-1 also a1^-1*...*an^-1"

Wenn ich es jetzt immer noch nicht hinbekommen habe gebe ich wirklich auf, morgen früh in der Klausur besteht eine 25% Chance, dass diese Aufgabe genau so dran kommt. Würdest du mir deshalb einfach die Lösung nennen?

PS: Aufgabe zu Volumenform/n-Form Ich habe hier noch eine Aufgabe, ebenfalls 25% Wahrscheinlichkeit, dass die morgen genau so kommt. Dich jetzt nach einer Lösung zu fragen wäre natürlich zu viel verlangt, aber falls du noch ein wenig Zeit und Lust hast könntest du dir vielleicht meinen (alternativen) Lösungsvorschlag dort ansehen und einfach kurz posten, ob das in die richtige Richtung geht, oder ob ich besser den Weg von Sibelius gehen sollte.

Nochmal ein großes Danke für deine Hilfe.

26.03.2018, 08:05

Elvis

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Die Berechnung des inversen Elements vertauscht die Reihenfolge. $\begin{eqnarray*} (xy)(y^{-1}x^{-1})=x1x^{-1}=1\Rightarrow (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1} \end{eqnarray*}$

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