Lösung inhomogenes Gleichungssystem

24.03.2018, 19:18	Schwaben_Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung inhomogenes Gleichungssystem Meine Frage: Hallo! Ich möchte folgendes inhomogenes Gleichungssystem lösen: $\begin{eqnarray} 2x - 2 + 2zx = 0 (1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2y - 2 - z = 0 (2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2} + 0,5 - y = 0 (3) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Das Finden der ersten Lösung fällt mir relativ leicht, indem ich die dritte Gleichung nach y umgestellt in die Zweite nach z umgestellt einsetze, erhalte ich nach einsetzen von z in die erste Gleichung für x zwei Werte: $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \pm\sqrt[3]{0,5} \end{eqnarray}$ Diesen Wert für x in die anderen Gleichungen eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} y = \left(\sqrt[3]{0,5} \right)^{2} + 0,5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=2\times \left(\sqrt[3]{0,5} \right) -1 \end{eqnarray}$ Hat vielleicht jemand eine Idee, wie ich weitere Lösungen des Gleichungssystems finde? Ich bekomme sonst nur komplexe Werte für alle anderen Umstellungen raus. Vielen Dank im Voraus!
24.03.2018, 19:31	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, man könnte das GS zunächst mal als $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ GS in den fünf Variablen x, y, z, a:=x², b:=xz betrachten und hier den Lösungsraum bestimmen. Der muss mindestens die Dimension 2 haben. Danach könnte man sich hier die passenden Lösungen 'rausschälen'. Da auf die Dimension 2 aber mit a=x² und b=xz nun noch 2 Gleichungen treffen, fürchte ich, dass du mit deinen endlich vielen Lösungstupeln vorlieb nehmen musst, und mehr nicht geht (Deine Umformungen waren auch logisch und notwendig, insofern hättest du eigentlich auch schon auf die Korrektheit deiner Lösung vertrauen können, mit dem obigen Vorschlag kann man nur eben bei Bedarf das Pferd noch mal von einer anderen Seite aufzäumen und so die Lösung bestätigen.) LG sibelius84
24.03.2018, 20:10	Schwaben_Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Also gibt es nur die beiden reelen Lösungen für mein Gleichungssystem?
24.03.2018, 20:13	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute ja. Ein paar komplexe könnte es evtl. noch geben, aber angesichts der fünf Gleichungen (drei linear, zwei nichtlinear) liegt die Vermutung nahe, dass es jedenfalls nur endlich viele Lösungen gibt. edit: wie kommst du auf $\begin{eqnarray} \pm \sqrt[3]{0,5} \end{eqnarray}$ ? Kommt mir ein wenig spanisch vor. Falls du eine kubische Gleichung x³=0,5 hattest, dann zählt nur die positive und nicht die negative Lösung. (Evtl. gibt es also sogar nur eine Lösung...?)
25.03.2018, 10:44	Schwaben_Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht, da steht natürlich nur $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{0,5} \end{eqnarray}$ , die Regel hatte ich ganz übersehen.
25.03.2018, 11:35	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich finde nur $\begin{eqnarray} (1.56747,-0.04304,-2.04304) \end{eqnarray}$
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25.03.2018, 13:24	Schwaben_Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort Dopap, wie kommst du auf die Lösung?
25.03.2018, 14:44	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
soll eigentlich nur zur Kontrolle sein. Mein Taschenrechner konnte es nicht exakt lösen und im MultiEquationSolver fand er bei verschiedenen Startwerten nur diese Lösung.

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