Komplexe Zahlen mit ln

24.03.2018, 22:56	Liana94	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen mit ln Hey Leute, ich habe eine kleine Verständnisfrage zu folgender Aufgabe Berechnen Sie $\begin{eqnarray} ln\left(-1+i\right) \end{eqnarray}$ Meine Rechnung $\begin{eqnarray} <br /> phi = arctan (\frac{Im}{Re}) =\frac{i}{-1} +\pi=\frac{3}{4} \pi +\pi =\frac{7}{4}\pi \end{eqnarray}$ da 2. Quadrant $\begin{eqnarray} <br /> \| z \| =\sqrt{(-1)^2+1^2} =\sqrt{2} =r <br /> <br /> \sqrt{2} (cos(\frac{7}{4}\pi ) + isin(\frac{7}{4}\pi ) )<br /> \end{eqnarray}$ in Exponentialform $\begin{eqnarray} <br /> \sqrt{2} e^{\frac{7}{4}\pi i } <br /> <br /> ln(\sqrt{2} e^{\frac{7}{4}\pi i }) <br /> <br /> <br /> ln\sqrt{2} + \frac{7}{4}\pi i <br /> \end{eqnarray}$ Musterlösung $\begin{eqnarray} <br /> ln\sqrt{2} + (\frac{3}{4}\pi i+ 2k\pi ) \end{eqnarray*}$ Ich versteh leider nicht warum dort 3/4pi + 2kpi steht. Bin für jede Hilfe dankbar LG Liana
24.03.2018, 23:33	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hätte da ein paar Fragen: Wenn ihr den Logarithmus einer komplexen Zahl berechnet, berechnet ihr dann den Hauptwert? Oder was soll das bei euch genau sein? (Weil die Musterlösung unendlich viele Werte angibt). Oder ist ln(z) bei Euch alle Werte mit $\begin{eqnarray} exp(ln(z)) =z \end{eqnarray}$ ? Man berechnet den Winkel in den meisten Formeln nicht über den arctan, sondern den atan2, der im Fall x<0 nicht mit dem arctan übereinstimmt. (Beim Zeichnen sollte auffallen, dass hier ein 135° Winkel vorliegt, nicht 315° wie in deiner Exponentialform) Im Übrigen ist der Imiginärteil eine reelle Zahl, i ist kein Imaginärteil.

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