Anfangswertproblem kein Ansatz

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25.03.2018, 17:49

hallo1234x

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Anfangswertproblem kein Ansatz

Habe hier keinen Ansatz?
Hat jemand tipps?

25.03.2018, 18:34

kaasi

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RE: Anfangswertproblem kein Ansatz
Jeweils y'=u substituieren.

25.03.2018, 18:35

grosserloewe

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RE: Anfangswertproblem kein Ansatz
Wink

zu a)

$\begin{eqnarray*} y'' -y'=x \end{eqnarray*}$

Ansatz :

$\begin{eqnarray*} y= e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

->y 2 mal ableiten und in die DGL einsetzen

-> $\begin{eqnarray*} y_{h} =C_{1} +C_{2} e^{x} \end{eqnarray*}$

-->Ansatz partikuläre Lösung , usw.

Dieses Verfahren wird mit Sicherheit in jeder Vorlesung behandelt.

Zum Schluß noch die AWB in die Lösung einsetzen.

zu b)

$\begin{eqnarray*} y'= p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''= \frac{dp}{dy} *p \end{eqnarray*}$

25.03.2018, 18:47

hallo1234x

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Ist das y= e^lambda*x der partikuläre Ansatz ?

Wann muss man welchen Ansatz anwenden ?
Kannst du kurz erklären ?

25.03.2018, 18:51

grosserloewe

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Ist das y= e^lambda*x der partikuläre Ansatz ? ->nein
es geht hier um die Ermittlung der homogenen Lösung

siehe hier:

http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node185.html

25.03.2018, 18:54

hallo1234x

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RE: Anfangswertproblem kein Ansatz
$\begin{eqnarray*} \lambda^2*e^{\lambda *x} - \lambda*e^{\lambda *x} =x \end{eqnarray*}$

verwirrt

Komme nicht mehr weiter ?

25.03.2018, 18:55

hallo1234x

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Hätte ich vorher das charakteristische Polynom berechnen sollen ?

Und dann den Ansatz auswählen?

25.03.2018, 19:02

grosserloewe

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so ist es. Sowas steht doch bestimmt in Deinem Script.
Bei dem Ansatz für die partikuläre Lösung geht es aber dann um einen anderen Ansatz.

25.03.2018, 19:22

hallo1234x

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RE: Anfangswertproblem kein Ansatz

Zitat:

Original von hallo1234x
$\begin{eqnarray*} \lambda^2*e^{\lambda *x} - \lambda*e^{\lambda *x} =x \end{eqnarray*}$

verwirrt

Komme nicht mehr weiter ?

Ab hier komme ich nicht mehr weiter ?

25.03.2018, 19:30

grosserloewe

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RE: Anfangswertproblem kein Ansatz
Wink

Das x ist die Störfunktion , die wird bei der Ermittlung der hom. Lösung nicht betrachtet.

Wenn Du den Ansatz 2 mal ableitest und in die DGL einsetzt bekommst Du

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{2} -\lambda =0 \end{eqnarray*}$

25.03.2018, 19:39

hallo1234x

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So hast du ja das charakteristisches Polynom berechnet .

Ich habe ja jetzt die Ableitungen einsesetzt:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2*e^{\lambda *x} - \lambda*e^{\lambda *x} =0 \end{eqnarray*}$

Komme nicht mehr weiter ? Big Laugh

25.03.2018, 20:09

grosserloewe

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Hallo,

Du klammerst jetzt

$\begin{eqnarray*} e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ aus ,und da dieser Term $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist
teilist Du durch diesem Term und bekommst:

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{2 } - \lambda =0 \end{eqnarray*}$

25.03.2018, 20:10

hallo1234x

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Aha ok.

Und was mache ich dann als nächstes ?

25.03.2018, 20:12

grosserloewe

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Jetzt klammerst Du $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aus.

25.03.2018, 20:18

hallo1234x

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$\begin{eqnarray*} \lambda *(\lambda -1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 1 \end{eqnarray*}$

was jetzt noch?

25.03.2018, 20:30

grosserloewe

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$\begin{eqnarray*} \lambda =0 ---->y_{1} = C_{1} *e^{0.x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda =1 ---->y_{2} = C_{2} *e^{1.x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{h} =y_{1} +y_{2} \end{eqnarray*}$

dann mit der oben angegebenen Lösung.

Jetzt muß Du noch die part. Lösung berechnen.

Was studierst Du eigentlich ?

Big Laugh

25.03.2018, 20:41

hallo1234x

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Studiere etechnik. smile

Soll ich jetzt meine homogene Lösung ableiten und in die Anfangsgleichung einsetzen ?

Jetzt habe ich ja sozusagen das charakteristische Polynom berechnet und damit die homogene Lösung.

$\begin{eqnarray*} y'(x) = C'_1(x) +C_2(x)*e^x +C'_2(x)*e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(x) = C''_1(x) +C'_2(x)*e^x +C_2(x)*e^x+C''_2(x)*e^x+C'_2(x) *e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(x) = C''_1(x) +e^x*(2C'_2(x) +C_2(x)+C''_2(x)) \end{eqnarray*}$

Ableitungen ok?

25.03.2018, 21:05

grosserloewe

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Na dann Prost, das habe ich auch mal studiert.

smile

das geht anders .

Der Ansatz für die part. Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} y_{p} =x(A+Bx) \end{eqnarray*}$

Diesen mußt Du jetzt 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen.

$\begin{eqnarray*} y_{p} = \frac{-x^2}{2} -x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= y_{h} +y_{p} \end{eqnarray*}$

Dann mußt Du noch die AWB in die Lösung einsetzen.

Augenzwinkern

25.03.2018, 21:11

hallo1234x

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wir nehmen als Partikulären Ansatz immer:

yp(x) = ax^2+bx+c

yp`(x)=2ax+b

yp''(x) = 2a

2a = 2ax+b+x

Was mache ich jetzt?

25.03.2018, 21:14

grosserloewe

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Dieser Ansatz ist aber falsch. Und immer kann ja nicht sein.

25.03.2018, 21:17

hallo1234x

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p(x) = ax+bx^2

yp`(x)=a+bx

yp''(x) = b

b = a+bx+x

Weiter?

25.03.2018, 21:21

grosserloewe

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Deine Ableitungen sind leider falsch.

25.03.2018, 21:25

hallo1234x

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p(x) = ax+bx^2

yp`(x)=a+2bx

yp''(x) = 2b

b = a+2bx+x

Weiter?

25.03.2018, 21:30

grosserloewe

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Das setzt Du in die DGL ein und bekommst:

2B=A+x(2B+1)

Dann führst Du einen Koffizientenvergleich durch:

$\begin{eqnarray*} x^{0} : 2B=A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{1} :0=2B+1 \end{eqnarray*}$

löst nach A und B auf, dann mit der angegeben Lösung von mir.

25.03.2018, 21:41

hallo1234x

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2B = -1

B = -1/2

A = -1

yp= x*(-1-1/2x)

yp = x*(1+ 1/2*x)

$\begin{eqnarray*} y(x) = C1+C_2*e^x+x*(1+ 1/2*x) \end{eqnarray*}$

y(0) = C1+C2

$\begin{eqnarray*} y'(x) = C_1'(x) +C'_2(x) *e^x +C_2*e^x+1+x \end{eqnarray*}$

y'(0) = C_1'(x) +C'_2(x)+C_2(x) +1

Ist das so richtig?

25.03.2018, 21:49

grosserloewe

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A und B stimmen. --->

$\begin{eqnarray*} y_{p=} -x -\frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=y_{h} +y_{p} \end{eqnarray*}$

y mußt Du einmal ableiten und dann die AWB einsetzen.

Du hast dann ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen, was einfach zu lösen geht.

Lösung:

$\begin{eqnarray*} y(x) = -x^2/2 - x + e^x + 1 \end{eqnarray*}$

25.03.2018, 21:54

hallo1234x

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Ah das C(x) ... lasse ich immer weg?

y(0) =2

y`(0) = -x-1+e^x = 0

Hast du auch tipps zur b)?

25.03.2018, 22:02

grosserloewe

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y= C1 +C2 e^x -x^2/2 -x

y'= C2 e^x -x-1

-------------------------------
die AWB eingesetzt:

2=C1+C2
0=C2-1

C1=C2= 1

dann mit den angegeben Ergebnissen.

Meine Tips zu b stehen ganz oben, Du brauchst diese nur einsetzen und rechnen.

25.03.2018, 22:09

hallo1234x

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y= 1 +1* e^x +x^2/2 -x

Das ist dann die Lösung .

b) yp = e^{ax} wieder?

y" = y'*y

lambda^2 =lambda

lambda1 = 0

lambda2 = -1

y(x) =c_1*e^{x*0}+c_2*e^{-x}

Ok soweit ?

25.03.2018, 22:16

hallo1234x

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yp = x*(A+BX)
yp`(x)=a+2bx

yp''(x) = 2b

DGL:

2B = (a+2bx)*(Ax+Bx^2)

Jetzt ganz ausmultiplizieren?

25.03.2018, 22:49

grosserloewe

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b geht anders, dann aber mit meinem Tip, wenn die Aufgabe so wirklich lautet.

Ich befürchte fast, das hier ein Druckfehler vorliegt.

Möglicherweise lautet die Aufgabe:

y ''= y' - y oder
y'' =y' +y

??

25.03.2018, 23:08

hallo1234x

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In der Musterlösung steht es so ?

Aber ich peile nicht wie die rechnen hier Big Laugh

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Anfangswertproblem kein Ansatz

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