Lotfußpunkte und Abstände im R^4 (LinA I)

25.03.2018, 18:23

Caramia

Lotfußpunkte und Abstände im R^4 (LinA I)

Hallihallo liebe Forennutzer,

Ich bin mir bei der Lösung einer Altklausuraufgabe der LinA I unsicher. Die Aufgabenstellung lautet:

Gegeben seien die beiden Geraden:
$\begin{eqnarray*} g = \{ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb R ^4 | \lambda \in \mathbb R \} h = \{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb R ^4 | \mu \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Weiter seien $\begin{eqnarray*} x \in g \cap k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in h \cap k \end{eqnarray*}$ die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes k von g und h, und h' die Parallele zu h durch x.

a) Berechnen sie die Punkte x, y und die Gerade k.
b) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden g und h.
(c) Geben Sie h' an und berechnen Sie den Cosinus des Winkels zwischen h' und g.
(d) Wie groß muss der Radius r der Sphäre $\begin{eqnarray*} S_r(0) \end{eqnarray*}$ gewählt werden, damit $\begin{eqnarray*} |g \cap S_r(0)| = 1 \end{eqnarray*}$ ist?

_____________________

Ich bin mir im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ recht unsicher, wie ich das allgemein lösen soll. Hier habe ich einfach argumentiert, dass bei beiden Geraden die vierte Koordinate 1 ist, und die somit im 3-d Raum ausgerechnet werden können, wenn man einfach durchgehend die vierte Koordinate streicht.

Dann habe ich ganz klassisch das Kreuzprodukt berechnet und mit nem LGS weitergerechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 2 & -1 & -4 & = & 1 \\ 2 & 0 & 4 & = & 0 \\ 0 & -2 & 2 & = & 3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Sodass ich rausbekomme:

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{-2}{18}; \mu = \frac{-26}{18}; \sigma = \frac{1}{18} \end{eqnarray*}$

Wobei mein Sigma mal meinem Lotvektor dann die Distanz angibt, mein Lambda und My eingesetzt in die Geraden dann meine Punkte:

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{2}{18} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} y = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{26}{18} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} k = \{ x + \sigma \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb R ^4 | \sigma \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Um Dann den Abstand zu berechnen nehme ich mir mein Sigma:

$\begin{eqnarray*} d = | \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} | = \frac{6}{18} \end{eqnarray*}$

Jetzt zu meiner Frage: Geht das so, kann man das machen? Und falls ja, wie mache ich das dann, wenn ich nicht so eine schöne Form habe, dass ich sehen kann, in welchen Untervektorraum R^3 das jetzt genau eingebettet ist? Bzw. wie würde man das richtig lösen?

Lieben Gruß, Caramia smile

26.03.2018, 14:24

Huggy

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RE: Lotfußpunkte und Abstände im R^4 (LinA I)
Deine konkrete Aufgabe kannst du im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ rechnen, wie du es getan hast. Deine Rechnung habe ich nicht versucht nachzuvollzuziehen, aber das Ergebnis scheint nicht zu stimmen. Für den Abstand $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ zweier nicht paralleler Geraden im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ kann man die Formel

$\begin{eqnarray*} d=\frac {|\vec {P_1P_2}\cdot(v_1\times v_2)|}{|(v_1\times v_2)|} \end{eqnarray*}$

verwenden. Dabei sind $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ 2 beliebige Punkte auf den Geraden und $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ die Richtungsvektoren der beiden Geraden. Damit bin ich auf

$\begin{eqnarray*} d=\frac 5 3 \end{eqnarray*}$

gekommen.

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ kann man z.B. einfach das Minimum des Abstandes zweier Punkte mit den Parametern $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ bestimmen.

26.03.2018, 15:33

riwe

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RE: Lotfußpunkte und Abstände im R^4 (LinA I)
das Ergebnis von Huggy für d kann ich nur bestätigen

das Skalarprodukt liefert einen Weg in R3 ohne Formel:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a-2 \end{pmatrix} -\mu\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} )\cdot\vec{r} _i=0 \end{eqnarray*}$

mit den beiden Richtunsvektoren r_i
womit man alle Fliegen erlegt Augenzwinkern

27.03.2018, 18:49

Caramia

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Vielen Dank für die Antworten! smile

Ich habe es jetzt noch mal, wie ihr Vorgeschlagen habt nachgerechnet und noch mal auf meine Weise nachgerechnet, und komme beide male auf das selbe Ergebnis.

Ich habe Punkt auf Gerade G + Sigma Normalenvektor = Punkt auf Gerade H, dann stelle ich um:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & \mu & \sigma & & \\ 2 & -1 & 2 & = & 1 \\ 2 & 0 & -2 & = & 0 \\ 0 & -2 & -1 & = & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Hier habe ich mich vorher vertan, anstatt -3 hatte ich 3 )
Und komme mit ein bisschen Umformung auf

$\begin{eqnarray*} \sigma = \frac{5}{9} d=\frac{5}{9} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} = \frac{5}{9} \cdot 3 = \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

29.03.2018, 00:00

Tobias83

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Für den Normalenvektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ muss Du folgenden Ansatz nehmen:
$\begin{eqnarray*} <v,x>=0 \end{eqnarray*}$ für diese Aufgabe bedeutet es Du rechnest $\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \\n4 \end{pmatrix}>=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \\n4 \end{pmatrix}>=0 \end{eqnarray*}$
Damit bekommst Du zwei Gleichungen, die Dir drei mögliche Normalenvektoren liefern mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mich würde eine Lösungsidee zum Teil d interessieren

29.03.2018, 09:25

Huggy

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Zitat:

Original von Tobias83
Mich würde eine Lösungsidee zum Teil d interessieren

Mit $\begin{eqnarray*} |g \cap S_r(0)| \end{eqnarray*}$ ist wohl der Abstand der Schnittpunkte der Geraden mit der Sphäre gemeint. Bestimme $\begin{eqnarray*} \lambda(r) \end{eqnarray*}$ für die Schnittpunkte. Bestimme dann $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ so, dass der Abstand der Schnittpunkte 1 wird.

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