Zahlenspielereien

29.03.2018, 13:49

marder

Zahlenspielereien

Meine Frage:
Streiche aus der Zahl 123456789 die 8 heraus und multipliziere die neue Zahl mit 8. Du erhältst ein tolles Resultat. Erkläre wie es dazu kommt.

Meine Ideen:
Das Resultat habe ich schon mal errechnet.
12345679 x 8 = 987654321

12345679 x 9 = 111 111 111
Vielleicht kann das weiterhelfen.

29.03.2018, 14:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von marder
Das Resultat habe ich schon mal errechnet.
12345679 x 8 = 987654321

Nein, nur 12345679 x 8 = 98765432 .

29.03.2018, 14:42

marder

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Danke für die Korrektur. Und was soll ich nun weiter damit anstellen?

29.03.2018, 15:11

HAL 9000

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RE: Zahlenspielereien

Zitat:

Original von marder
Du erhältst ein tolles Resultat. Erkläre wie es dazu kommt.

Ich wäre fast geneigt zu sagen: Weil die Multiplikation das eben ergibt... Big Laugh

Aber gut, man kann via

$\begin{eqnarray*} 12345679\cdot 9 = 12345679\cdot (10-1) = 123456790 - 12345679 = 111111111 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12345679\cdot 8 = 12345679\cdot (9-1) = 111111111 - 012345679 = 98765432 \end{eqnarray*}$

im Zusammenhang "Schriftliches Subtrahieren" argumentieren.

29.03.2018, 16:44

marder

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Vielen Dank!

Die Erklärung mit der schriftlichen Subtraktion finde ich gut.

Zitat:

Ich wäre fast geneigt zu sagen: Weil die Multiplikation das eben ergibt... Big Laugh

Gefällt mir fast noch besser Big Laugh

29.03.2018, 18:54

HAL 9000

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Oder wer es gern formellastiger mag: Für

$\begin{eqnarray*} u &=& 1+\sum_{n=0}^{b-3} (b-2-n) b^n\\ v &=& \sum_{n=0}^{b-3} (2+n) b^n \end{eqnarray*}$ .

weisen wir für alle Basen $\begin{eqnarray*} b\geq 3 \end{eqnarray*}$ die Behauptung $\begin{eqnarray*} v = (b-2)u \end{eqnarray*}$ nach (unter Nutzung einer Indexverschiebung m=n+1):

$\begin{eqnarray*} (b-2)u &=& bu-2u = b + \sum_{n=0}^{b-3} (b-2-n) b^{n+1} - 2 - 2\sum_{n=0}^{b-3} (b-2-n) b^n = b-2 + \sum_{m=1}^{b-2} (b-2-m) b^m + \sum_{n=0}^{b-3} b^{n+1} - \sum_{n=0}^{b-3} (2b-4-2n) b^n\\ &=& \sum_{n=0}^{b-3} ((b-2-n)+b-(2b-4-2n)) b^n = \sum_{n=0}^{b-3} (2+n) b^n = v \end{eqnarray*}$

Im Spezialfall $\begin{eqnarray*} b=10 \end{eqnarray*}$ ist ja gerade $\begin{eqnarray*} u=12345679 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=98765432 \end{eqnarray*}$ .

29.03.2018, 19:42

PhyMaLehrer

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Ich kenne diese Zahlenspielerei noch etwas anders:
Frage jemanden nach seiner Lieblingsziffer x (außer 0 Augenzwinkern

). Dann lasse ihn die Zahl 12345679 mit (9*x) multiplizieren...

29.03.2018, 22:04

klauss

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Zitat:

Original von PhyMaLehrer
12345679 mit (9*x)

Wie soll man das Ergebnis nach Meinung des Erfinders interpretieren?
Es gibt offenbar zahlreiche x, die nicht zu einer auf Anhieb "netten" Zahl führen.

30.03.2018, 08:47

Bürgi

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Guten Morgen,

@klauss

Zitat:

Es gibt offenbar zahlreiche x, die nicht zu einer auf Anhieb "netten" Zahl führen.

Es geht bei dem Posting von PhyMaLehrer um Ziffern.
Üblicherweise wird der Scherzauftrag so gestellt, dass der Kandidat sich eine Ziffer aus 12345679 aussuchen soll. "Natürlich" wird meistens die 8 gewählt, was aber kein Problem ist, denn
$\begin{eqnarray*} 12345679 \cdot (9 \cdot 8) = 888888888 \end{eqnarray*}$

Ich kann nicht erklären, warum das so ist. Ich vermute, es hängt mit der Dezimaldarstellung von
$\begin{eqnarray*} \frac1{81} = 0,0\overline{12345679} \end{eqnarray*}$ zusammen.

Wenn man jetzt mit einem Vielfachen von neun multipliziert, erhält man
$\begin{eqnarray*} \frac1{81} \cdot (Z \cdot 9) = \frac{Z \cdot 9}{81} = \frac Z9 \end{eqnarray*}$

Und die Dezimaldarstellung dieses Bruchs wäre $\begin{eqnarray*} 0,ZZZZ\overline{Z} \end{eqnarray*}$

Das ist wie gesagt eine Vermutung. Mich stört insbesondere das Komma und die Periodizität. Kriegt man aber sicherlich auch noch weg Big Laugh

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