Mengen X, Y, Z | f: X -> Y, g: Y -> Z | g * f surjektiv | g injektiv | Zeige, dass f surjektiv

29.03.2018, 15:06	Ergydion	Auf diesen Beitrag antworten »
*Mengen X, Y, Z \| f: X -> Y, g: Y -> Z \| g f surjektiv \| g injektiv \| Zeige, dass f surjektiv Meine Frage:** Hallo Freunde, ich sitze an einer Klausuraufgabe, bei der ich leider nicht weiterkomme. Seien X, Y, Z Mengen, $\begin{eqnarray} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: Y \rightarrow Z \end{eqnarray}$ Abbildungen. Sei g * f surjektiv und g injektiv. Zeigen Sie, dass dann f surjektiv ist. Meine Ideen: Also erstmal würde ich natürlich aufschreiben, was in der Aufgabe schon gegeben wurde. Dass g injektiv ist bedeutet ja folgendes: $\begin{eqnarray} \forall y_{i}, y_{j} \in Y mit\;y_{i} \neq y_{j} : g(y_{i}) \neq g(y_{j}) \end{eqnarray}$ Dass g * f surjektiv ist, bedeutet folgendes: $\begin{eqnarray} \forall z \in Z \exists x \in X: g(f(x)) = z \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass das schon mal korrekt ist. Meine Idee wäre jetzt ein y aus Y herauszupicken und dann per Kontraposition zu zeigen, dass es kein y gibt, dass nicht von mindestens einem X-Wert getroffen wird. Nur komm ich an dieser Stelle leider nicht weiter und würde mich sehr über Hilfe freuen. Gruß
29.03.2018, 16:39	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das mit einem direkten Beweis zeigen: Sei $\begin{eqnarray} y\in Y \end{eqnarray}$ . Du suchst dann ein $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ . Nun ist ja $\begin{eqnarray} g(y)\in Z \end{eqnarray}$ . Darauf kannst du die Surjektivität von $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ anwenden.

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