Integration

31.03.2018, 14:57

Kagnerac

Integration

Hallo,

ich brauche Hilfe bei der Bestimmung eines Integrals. Ausgangspunkt ist dieses Integral:

$\begin{eqnarray*} V &=& \int\limits_{t-a}^t \int\limits_{\sqrt{r^2-t^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} 2\sqrt{r^2-x^2-y^2} \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Die Integration nach x ergibt nach meiner Vorgehensweise:

$\begin{eqnarray*} V &=& \int\limits_{t-a}^t \ \frac{pi}{2} *(r^2-y^2)+(y^2-r^2)*arcsin(\frac{\sqrt{r^2-t^2}}{\sqrt{r^2-y^2}})+\sqrt{r^2-t^2}*\sqrt{t^2-y^2} \dd y \end{eqnarray*}$

Das ganze kann ich ja dann auf 3 Integrale aufteilen, von denen ich das 1. und 3. noch lösen kann:

$\begin{eqnarray*} I1 &=& \int\limits_{t-a}^t \ \frac{pi}{2} *(r^2-y^2)\dd y = \frac{-pi*t}{6}*(t^2-3r^2)+\frac{pi*(t-a)}{6}*((t-a)^2-3r^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I3 &=& \int\limits_{t-a}^t \ \sqrt{r^2-t^2}*\sqrt{t^2-y^2}\dd y = \frac{pi*t^2}{4}-\frac{t^2*arcsin(\frac{t-a}{t})}{2}-\frac{(t-a)*\sqrt{t^2-(t-a)^2}}{2} \end{eqnarray*}$

Bei dem zweiten Integral
$\begin{eqnarray*} I2 &=& \int\limits_{t-a}^t \ (y^2-r^2)*arcsin(\frac{\sqrt{r^2-t^2}}{\sqrt{r^2-y^2}})\dd y \end{eqnarray*}$
sind bei mir jedoch Hopfen und Malz verloren und ich habe keinerlei Ideen wie man das angehen kann. Ich habe versucht den Term mal in ein paar Integralrechner einzugeben, allerdings kamen da ewig lange Terme raus, die ich überhaupt nicht nachvollziehen konnte. Ich wäre von daher für jede Hilfestellung dankbar.

Gruß

01.04.2018, 13:29

Huggy

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RE: Integration
Diese Integration ist sicher keine Schulmathematik!

Das Ergebnis der ersten Integration lässt sich mittels

$\begin{eqnarray*} \arcsin x= \frac {\pi} 2 -\arccos x \end{eqnarray*}$

zwar etwas kürzer schreiben, aber das macht die zweite Integration auch nicht leichter. CAS lösen die zweite Integration, indem sie die inversen Winkelfunktionen durch den komplexen Logarithmus ausdrücken. Es entsteht dadurch eine Summe teils komplexer Terme, deren Summe aber reell ist. Die Hoffnung auf eine "einfache" Ergebnisformel dürfte vergeblich sein. Als Alternative bietet sich die numerische Integration an.

01.04.2018, 13:33

sibelius84

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Hi,

also optimal wäre es m.E., wenn du erstmal in Worten beschreiben würdest, was du überhaupt berechnen willst. Der Bezeichner V lässt vermuten, dass es um das (zweidimensionale) Volumen irgendeiner Fläche geht, die irgendetwas mit Kreisen zu tun hat. Soll dies das ein "Kreisstreifen" sein, also so etwas wie $\begin{eqnarray*} \Delta_r(0)\cap\{t-a\leq y \leq t\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq a \leq t \leq r \end{eqnarray*}$ ? Wären dann nicht evtl. Polarkoordinaten oder eine Variante davon sinnvoll?

Nun, wenn du unbedingt diesen doch etwas steinigen Weg gehen willst - betrachten wir mal den problematischen Integranden $\begin{eqnarray*} f(y):=(r^2-y^2)\arcsin\left(\sqrt\frac{r^2-t^2}{r^2-y^2}\right) \end{eqnarray*}$ :

Genau wie bei der Bestimmung einer Stammfunktion zu Funktionen wie ln, arcsin/-cos/-tan - also sprich: transzendente Funktionen, die aber rationale oder zumindest algebraische Funktionen als Ableitung haben -, ergibt hier eine partielle Integration Sinn. Neben furchtbar ekligen Stammfunktionstermen "u·v" (die aber, da sie nicht weiter integriert werden müssen, reine buchhalterische Schreibarbeit darstellen und ansonsten nicht weiter ins Gewicht fallen) komme ich darauf, dass dann noch so etwas zu berechnen ist wie
$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-t^2}\cdot\int \, \frac{2y}{\sqrt{t^2-y^2}\cdot(r^2-y^2)}\, dy \end{eqnarray*}$ .
Wenn du hier noch (von außen) x(y):=t²-y² substituierst, erhältst du ein Integral der Form
$\begin{eqnarray*} \int\,\frac{1}{\sqrt x\cdot(x+a)}\, dx \end{eqnarray*}$ ,
das du mit der Substitution (von innen) x(t):=t² leicht lösen können solltest.

Ich habe es durchgerechnet, kann mich aber verrechnet haben, also: Diese Angaben sind wie immer ohne Gewähr Augenzwinkern

LG
sibelius84

01.04.2018, 13:48

Huggy

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@sibelius84

Hintergrund:
Teilvolumen eines liegenden Zylinders mit Kugelsegmenten

Toll, falls du eine rein reelle Integration hinbekommen hast. Ich bin zu faul, zu versuchen, das nachzuvollziehen.

01.04.2018, 13:57

sibelius84

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Ich denke, mit Zylinderkoordinaten ginge es dann noch einfacher.

02.04.2018, 11:52

Kagnerac

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Hallo,

vielen Dank für die Antworten, ich habe da noch zwei Fragen:

1. Was genau ist mit "von innen" und "von außen" substituieren gemeint?

2. Wie wäre denn die Vorgehensweise bei der Nutzung von Polar- oder Zylinderkoordinaten? Damit habe ich leider so ziemlich gar keine Erfahrung.

Grüße

02.04.2018, 13:17

sibelius84

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Zu 1: Schau mal, ob dir das hier hilft:
Integrand bei Substitution handhaben

Zu 2: Es geht ja hier im Prinzip darum, die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2\sqrt{r^2-(x^2+y^2)} \end{eqnarray*}$ über die Fläche / den Normalbereich $\begin{eqnarray*} N=\left\{\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\in\mathbb R^2 \,\vert\, t-a \leq y \leq t, \sqrt{r^2-t^2}\leq x \leq \sqrt{r^2-y^2}\right\} \end{eqnarray*}$ zu integrieren. Da wir im Zweidimensionalen sind, sind hier also keine Zylinder-, sondern zweidimensionale Polarkoordinaten angebracht: $\begin{eqnarray*} x=\rho\cos(\varphi),y=\rho\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ . Wegen der zur x-Achse parallelen Begrenzungslinien ist es aber schwierig, N geeignet in Polarkoordinatendarstellung zu überführen. (Bei einem Kreisringsegment oder dergleichen gibt das ein Rechteck und dann wird die Integration super einfach, aber das ist hier nicht gegeben.)

Das heißt, evtl. war meine Idee mit den Zylinderkoordinaten doch nicht so gut. Entweder sollte man das ganze mehr vom Anfang an, vom Dreidimensionalen her aufziehen und dann statt zweidimensionaler Polar- doch 'richtige' Zylinderkoordinaten nehmen; oder einfach froh sein, dass es anscheinend einen Weg gibt, in cartesischen Koordinaten zu integrieren.

02.04.2018, 14:08

Kagnerac

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Alles klar, dann guck ich mir das nochmal an.

Mir ist jetzt aber etwas aufgefallen. Mein Ziel mit der ursprünglichen Integration war ja einen Teil eines Kugelsegments zu bestimmen. Im Grunde zweimal das hier:
Ansicht Hinten:[attach]46832[/attach] Ansicht Oben:[attach]46833[/attach] Ansicht Seite:[attach]46834[/attach]
Ansicht Vorne:[attach]46835[/attach]

Ich wollte das nochmal betonen, da erwähnt wurde, dass wir uns im zweidimensionalen befinden, allerdings möchte ich ja schon einen Volumenkörper berechnen.

Aber mir ist auch aufgefallen, dass ich bei dem dritten Integral I3 2 als höchsten Exponenten habe, also nur eine Fläche berechnet habe. Habe ich jetzt irgendwo einen Fehler begangen?

02.04.2018, 15:19

Kagnerac

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Zu meinem vorherigen Post, da habe ich den Fehler bemerkt, ich habe ja die $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-t^2} \end{eqnarray*}$ aus dem Integral gezogen, wenn ich das wieder zur Stammfunktion multipliziere komme ich auf den Exponenten 3.

Aber habe ich es jetzt richtig verstanden, dass ich folgendes lösen muss

Zitat:

Original von sibelius84

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-t^2}\cdot\int \, \frac{2y}{\sqrt{t^2-y^2}\cdot(r^2-y^2)}\, dy \end{eqnarray*}$ .
Wenn du hier noch (von außen) x(y):=t²-y² substituierst, erhältst du ein Integral der Form
$\begin{eqnarray*} \int\,\frac{1}{\sqrt x\cdot(x+a)}\, dx \end{eqnarray*}$ ,
das du mit der Substitution (von innen) x(t):=t² leicht lösen können solltest.

um die Stammfunktion dieser Funktion zu erhalten?

$\begin{eqnarray*} f(y):=(r^2-y^2)\arcsin\left(\sqrt\frac{r^2-t^2}{r^2-y^2}\right) \end{eqnarray*}$

02.04.2018, 17:47

sibelius84

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So sieht es wohl aus. War das nicht sogar das Ergebnis deiner vorangegangenen Diskussion mit HAL 9000 im anderen thread? Augenzwinkern

03.04.2018, 10:00

Kagnerac

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Ok ich habe es mir nochmal angesehen aber ich bin nicht sicher, ob ich es richtig verstanden habe.

Zitat:

Wie komme ich denn auf die Klammer im Bruch? Es steht ja nur $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ da, nicht $\begin{eqnarray*} t^2-y^2 \end{eqnarray*}$ . Erweitere ich die Klammer mit $\begin{eqnarray*} +t^2-t^2 \end{eqnarray*}$ ? Und ist das a dann $\begin{eqnarray*} a=r^2-t^2 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich dann bei $\begin{eqnarray*} \int\,\frac{1}{\sqrt x\cdot(x+a)}\, dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x=t^2 \end{eqnarray*}$ substituiere, erhalte ich $\begin{eqnarray*} \int\,\frac{2}{t^2+a}\, dt \end{eqnarray*}$ . Das Integral ergibt bei mir dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{2*\arctan(\frac{t}{\sqrt a})}{\sqrt a} \end{eqnarray*}$
Hier führe ich dann ganz normal die Rücksubstitutionen durch? Also zuerst $\begin{eqnarray*} t=\sqrt x \end{eqnarray*}$ um
$\begin{eqnarray*} \frac{2*\arctan(\frac{\sqrt x}{\sqrt a})}{\sqrt a} \end{eqnarray*}$ zu erhalten und dann $\begin{eqnarray*} x=t^2-y^2 \end{eqnarray*}$ bzw. auch noch $\begin{eqnarray*} a=r^2-t^2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{2*\arctan(\frac{\sqrt{t^2-y^2}}{\sqrt{r^2-t^2}})}{\sqrt{r^2-t^2}} \end{eqnarray*}$

Ist das die richtige Vorgehensweise oder habe ich etwas falsch verstanden?

03.04.2018, 11:25

sibelius84

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Zur zweiten Frage, das ist die richtige Vorgehensweise und du hast sie anscheinend richtig verstanden. smile

Zur ersten Frage: Du hast partielle Integration mit v'(y)=r²-y² und u(y)= $\begin{eqnarray*} \arcsin\left(\sqrt\frac{r^2-t^2}{r^2-y^2}\right) \end{eqnarray*}$ . Damit gilt

$\begin{eqnarray*} u'(y)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r^2-t^2}{r^2-y^2}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt\frac{r^2-t^2}{r^2-y^2}}\cdot (r^2-t^2)(-(r^2-y^2)^{-2})\cdot(-2y) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das fertig vereinfachst, müsstest du theoretisch auf das kommen, was ich hatte.

03.04.2018, 11:50

Kagnerac

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Zitat:

Original von sibelius84
Zur zweiten Frage, das ist die richtige Vorgehensweise und du hast sie anscheinend richtig verstanden. smile

Alles klar, allerdings habe ich doch nun das Problem, dass mein Ergebnis den Exponenten 1 hat. Ich habe ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-t^2} \end{eqnarray*}$ aus dem Integral gezogen, wenn ich das an mein Ergebnis multipliziere, dann erhalte ich ja nur:

$\begin{eqnarray*} 2*arctan(\frac{\sqrt{t^2-y^2}}{\sqrt{r^2-t^2}}) \end{eqnarray*}$

Mein Ziel war es ja ein Volumen zu errechnen, das ist dann doch mit dieser Lösung gescheitert unglücklich

Zitat:

Original von sibelius84
Zur ersten Frage: Du hast partielle Integration mit v'(y)=r²-y² und u(y)= $\begin{eqnarray*} \arcsin\left(\sqrt\frac{r^2-t^2}{r^2-y^2}\right) \end{eqnarray*}$ . Damit gilt

$\begin{eqnarray*} u'(y)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r^2-t^2}{r^2-y^2}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt\frac{r^2-t^2}{r^2-y^2}}\cdot (r^2-t^2)(-(r^2-y^2)^{-2})\cdot(-2y) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das fertig vereinfachst, müsstest du theoretisch auf das kommen, was ich hatte.

Sorry ich meinte hierbei wie es von deinem vereinfachten Integral zu dem Integral nach der ersten Substitution kam. Also von hier: $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-t^2}\cdot\int \, \frac{2y}{\sqrt{t^2-y^2}\cdot(r^2-y^2)}\, dy \end{eqnarray*}$ mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x(y)=t^2-y^2 \end{eqnarray*}$ nach hier:
$\begin{eqnarray*} \int\,\frac{1}{\sqrt x\cdot(x+a)}\, dx \end{eqnarray*}$

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