Rotation Vektorfeld & Winkelgeschwindigkeit

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Rotation Vektorfeld & Winkelgeschwindigkeit
Hey Leute,

angenommen wir haben ein Vektorfeld für das gilt , es hat also Wirbel. Kann in diesem Fall absolut immer die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden?

Liebe Ostergrüße smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi MasterWizz,

wie du vermutlich auch schon, habe ich mal hier nachgesehen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_e...geschwindigkeit

Das Vektorfeld, das dort als Beispiel angegeben ist, ist nicht wirbelfrei, und es wird eine (seine?) Winkelgeschwindigkeit berechnet.

Falls dir das nicht schon hilft, müsstest du mal ein wenig Input liefern, wie bei euch die Winkelgeschwindigkeit eines (wirbelfreien) Vektorfeldes definiert ist.

LG
sibelius84
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotation Vektorfeld & Winkelgeschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeiten kann man auch für wirbelfreie Vektorfelder berechnen (falls überhaupt eine Zeitskala zugrundeliegt). Jede Winkelgeschwindigkeit kann aber nur in Bezug auf ein bestimmtes Zentrum oder auf eine Achse definiert und berechnet werden.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs präziser auszudrücken:

Wenn , gibt es eine Rotation um eine Achse. Im Fall auf wikipedia kommt nur die z-Komponente vor, also handelt es sich um eine Rotation um die z-Achse.

In diesem Buch hier steht, dass es sich aber auch um eine beliebige Achse handeln kann:
[attach]46828[/attach]

Ich würde gern wissen, um welche Achse sich ein Vektorfeld dreht und mit welcher Winkelgeschwindigkeit , wenn z.B. gilt: .
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier sind Divergenz, Rotation etc. ganz nett anschaulich erklärt:
https://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_v...nz_rotation.pdf

Der Inspiration aus diesem Skript folgend, kann man tatsächlich das Vektorfeld angeben, das deinen 'Wunsch' erfüllt: . Dies beschreibt gerade eine Drehung um die Achse (1,2,3)^T mit der Winkelgeschwindigkeit .

Deinen Buchausschnitt verstehe ich nun so, dass dies für allgemeine Vektorfelder, mit i.A. nicht-konstanter Rotation genauso definiert wird. Dass aber etwa das Feld eine Drehung um die Achse (x,y,z)^T mit der Winkelgeschwindigkeit bedeuten soll, könnte ich dir aber leider nicht mehr anschaulich erklären oder motivieren. Das ist dann vielleicht eher so nach dem Motto "stur nach Definition"...?

innermathematisches Off-Topic:
Weiß irgendjemand, warum man für eine Drehung um eine Achse keine Drehmatrix bekommt, sondern eine schiefsymmetrische Matrix? verwirrt
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Wow genau das interessiert mich!

Denke aber auch, dass eine Drehmatrix, egal um welche Achse, immer eine orthonormale Matrix sein muss. Irgendein Puzzleteil fehlt uns noch.
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mal in zwei Richtungen weitergebuddelt:

(1) Das charakteristische Polynom der Matrix (nennen wir sie A) berechnet sich zu T³+(7/2)T, so dass die Eigenwerte 0 und herauskommen. ( war gerade die Winkelgeschwindigkeit!) Weiter erhalten wir , also gerade das, was die Drehachse sein sollte. Das wird nun plötzlich nicht beibehalten, sondern plattgemacht? Was soll das denn für eine Drehung sein? (Die Berechnung der Eigenvektoren zu den restlichen Eigenwerten ist übelst kompliziert und ich weiß nicht, ob sie irgendetwas bringen würde. Vielleicht könnte man hier schönere Zahlen statt (1,2,3) wählen, etwa (1,2,2), damit die Norm glatt 9 ist.)

(2) Schauen wir uns doch mal eine 'echte' Drehung um die Achse (1,2,3) an. (Ich hätte mit (1,2,2) rechnen sollen, aber jetzt ist es zu spät. Ups ) Nun, offenbar muss (1,2,3) gerade den Eigenraum zum Eigenwert 1 erzeugen; die Drehung findet dann innerhalb der dazu orthogonalen Ebene x+2y+3z=0 statt. Diese enthält den Vektor (1,1,-1), und den dazu orthogonalen Vektor (5,-4,1) und wird von diesen beiden erzeugt. Bezüglich der Orthonormalbasis hat unsere Drehung f also die Darstellung
.
Dies liefert in diesen Koordinaten die Rotation , was zurückübersetzt bedeutet .

Also kann man den Rotationsvektor tatsächlich interpretieren als Achse, um die gedreht wird? Und bei wirbelfreien Feldern gibt es so eine Achse halt nicht?

edit:
(3), noch eine Feststellung: Für erfüllt ein lineares Vektorfeld genau dann , wenn A symmetrisch ist. Interessanterweise sind das ja die Matrizen, die alle reell orthogonal diagonalisierbar, also bzgl. eines geeigneten Koordinatensystems als Streckungen / Spiegelungen der Achsen aufzufassen sind. Da gehen alle Achsen straightforward und es wird nichts rotiert oder gewirbelt...?

noch ein edit:
Ich habe mir gerade noch mal dieses Feld in diesem Skript angesehen. Der Zielvektor steht ja für jedes beliebige x orthogonal auf , oder anders formuliert: Jeder Vektor wird zunächst mal in die zu orthogonale Ebene hineinprojiziert, zu einem Vektor x'. Dort wird er dann vermutlich noch mal einer Drehstreckung oder dgl. unterzogen. Da x' nun orthogonal auf omega steht, gilt sogar : Nachdem sein 'omega-Anteil rausgelöscht' wurde, wird der Rest innerhalb der orthogonalen Ebene gedreht und mit dem festen Faktor gestreckt.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Rechnung, mir sind direkt einige Zusammenhänge klar geworden!
Unsere Matrix des linearen Vektorfeldes ist ja auch gleich die Jacobimatrix des Vektorfeldes.

Zusammengefasst heißt das für uns jetzt, dass immer gleich unsere Drehachse ist. Es heißt ja, dass die Rotation die doppelte Winkelgeschwindigkeit angibt, also sagt mein Gefühl (womit der Rotationsvektor weiterhin die Achse bleibt, um die gedreht wird) und damit als Winkelgeschwindigkeit.

Sollte der Rotationsvektor mal nicht konstant sein, muss es mehrere Drehachsen, also auch mehrere "Wirbel" geben? In dem Fall lässt sich die Winkelgeschwindigkeit auch nicht eindeutig bestimmen oder sogar gar nicht? Soweit ich weiß lassen sich "Wirbel" nicht mathematisch beschreiben, also meine Gedanken nur in Worten. Deine Methode zur Rekonstruktion des Vektorfeldes funktioniert auch nur für lineare Vektorfelder, richtig? Wie würde das denn allgemein aussehen? Sowas wie mit als Integraloperator?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant übrigens, dass bei einer 'echten' Drehung die Winkelgeschwindigkeit gerade ist. Also maximal 1, bei einer Drehung um genau 90°. Höhere Winkelgeschwindigkeiten wie etwa zeugen dann wohl von 'schlimmeren Verwirbelungen', als sie von einer herkömmlichen Drehung um einen festen Winkel um eine feste Achse bewirkt werden könnten.

Mir ist übrigens gerade klar geworden, warum der Professor aus Graz in seinem Skript wohl doch keinen Mist erzählt hat: Bei einem Vektorfeld ist ja die anschauliche Vorstellung, dass der Bildvektor dem Urbildvektor angeheftet wird. Deshalb erzeugt in unserem Beispiel von oben (1,2,3) den Kern: Bei Punkten von der Drehachse wird einfach kein Vektor angeheftet.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Sibelius, mir machts echt Spaß drüber zu reden. Vielen Dank auch für deine Hilfe bisher smile
Hast du noch eine Idee zu meiner letzten Frage?

Edit:
Mir gefällt die Vorstellung, dass der Bildvektor an das Urbild angeheftet wird. Würdest du dann sagen, dass die Punkte der Drehachse selbst eine Winkelgeschwindigkeit besitzen? Ist sie dann 0 oder unendlich? verwirrt
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte eure Begeisterung nicht dämpfen. Aber ganz so einfach kann man die Rotion von Vektorfeldern nicht mit einer mechanischen Drehung veranschaulichen. Es gibt nämlich Vektorfelder , deren "Vektorpfeile" an jedem Ort parallel sind, so dass sich dabei nix dreht. Trotzdem muss die Rotation solcher Felder nicht verschwinden- zum Beispiel



Anschaulich kann man dieses Vektorfeld als eine ebene Strömung von Wasser in x-Richtung interpretieren, wobei die Strömungsgeschwindigkeit (="Pfeillänge") ortsabhängig ist. Zeichne dir mal einige "Vektorpfeile" an verschiedenen Punkten auf. Hier gilt

MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Auf wikipedia steht, dass es namensgebend für die Rotation ist, dass sie für jeden Ort die doppelte Winkelgeschwindigkeit angibt. Wie kann man denn die Winkelgeschwindigkeit verstehen, wenn sich nichts um eine bestimmte Achse dreht?

Edit: In dem Skript von Sibelius aus der Uni Gratz gibts ein Beispiel, das fast identisch mit deinem ist. Der Prof dort redet von der Rotation eines Körpers in diesem Vektorfeld, obwohl auch dort die Pfeile des Vektorfeldes alle parallel sind. Wie würdest du das interpretieren?
[attach]46844[/attach]
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Anschauliche Definition der Rotation eines Vektorfeldes:

Gegeben sei ein 3-dimensionales Vektorfeld - z.B. ein Strömungsfeld in einem Fluss. In den Fluss halten wir eine Achse, an deren Endpunkt ein kleines drehbares Rad montiert ist. Infolge des Strömungswiderstandes wirkt auf die Radfelge eine gewisse Kraft, die es (eventuell) um den Endpunkt zu drehen versucht. Diese Kraft ist offenbar folgendes Kreisintegral



Dieses Integral berücksichtigt nur die Kraft entlang der kreisförmigen Felge, d.h. die Kraft auf Speichen und Achse wird vernachlässigt. Für eine beliebige feste Achsrichtung machen wir folgenden Grenzübergang: Wir ziehen das Rad auf den Mittelpunkt zusammen, indem die Radfläche A schrumpft, und berechnen folgenden Quotienten



Es ist klar, dass die Kraft im Zähler und folglich auch der Grenzwert G für jeden festen Radmittelpunkt von der Wahl der Achsrichtung abhängt. Es gibt aber für jeden Punkt eine Achsrichtung , für welche dieser Grenzwert maximal wird. Für diese spezielle Achsichtung bezeichnet man den Vektor als "Rotation des Vektorfeldes am Ort "

Die zugehörige Rechnung - also die Grenzwertbildung - wird z.B. im Lehrbuchuch "Höhere Mathematik" von Georg E. Joos und E. Richter leicht verständlich durchgeführt.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
Rotation: anschaulich
Hallo zusammen

ich denke, dass hier in diesem Thread irgendwie die Vorstellung rumschwebt, dass ein Vektorfeld mit Rotation so etwas wie echte "Wirbel" aufweisen müsste wie etwa die Strömung des Wassers in der Umgebung des Abflussloches, wenn der Stöpsel gezogen ist.
Man kann sich aber ein für die meisten Fälle treffenderes Bild machen, wenn man an einen relativ ruhig dahinströmenden Fluss denkt. Das Wasser nahe der Ufer fließt etwas langsamer als jenes in der Flussmitte. Wenn wir nun z.B. ein Korktellerchen (so einen Glasuntersatz) auf die Wasseroberfläche setzen, so wird es sich, wenn es nicht genau in der Flussmitte liegt, langsam drehen, und zwar linksrum, wenn es links von der Flussmitte liegt, und rechtsrum, wenn es in der rechten Flusshälfte ist. Dieses Korktellerchen illustriert das, was mit der Rotation des Geschwindigkeitsfelds des Flusses gemeint ist.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotation: anschaulich
Das entspricht auch meiner Vorstellung von "Rotation", also die Drehbewegung eines Körpers innerhalb des Feldes. Auf wikipedia steht auch, dass der Begriff "Wirbel" sich nicht mathematisch präzise formulieren lässt.

Jetzt noch mal zur Zusammenfassung, worauf dieser Beitrag ursprünglich abzielt: Wenn rot(v) ungleich 0 ist, aber konstante Komponenten hat, dann rotiert ein Objekt innerhalb des Feldes um die Achse rot(v) mit der Winkelgeschwindigkeit der halben Norm von rot(v), richtig?
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