Endliche Gruppen: Ordnung eines Gruppenelements wie berechnen?

01.04.2018, 19:08

Philipp_

Endliche Gruppen: Ordnung eines Gruppenelements wie berechnen?

Hallo,
ich lerne gerade modulare Arithmetik. Die Definition der Gruppenordnung #G habe ich verstanden, nur die Ordnung der einzelnen Gruppenelemente nicht.

Z.B.
$\begin{eqnarray*} G = \left\{ \frac{\mathbb Z }{\mathbb Z (17) } \right\}^{x} \end{eqnarray*}$

mit Erzeuger $\begin{eqnarray*} g = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow G = \left\{ 2,4,8,16,15,13,9,1\right\} \end{eqnarray*}$

Die Ordnung der Gruppe wäre also #G = 8

In meinem Skrip steht, die Gruppenordnung wäre ein ganzzahliges Vielfaches der Ordnung der Gruppenelemente. Wie man die Ordnung eines Gruppenelements berechnet steht leider nicht drin.

Wie macht man das ?

Danke!

01.04.2018, 20:22

sibelius84

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RE: endliche Gruppen: Ordnung eines Gruppenelements wie berechnen?
Hallo Philipp,

eine sog. 'prime Restklassengruppe' $\begin{eqnarray*} G = \left\{ \frac{\mathbb Z }{\mathbb Z (n) } \right\}^{\times} \end{eqnarray*}$ (oder wie man sie m.E. üblicherweise schreiben würde: $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / n \mathbb Z)^\times \end{eqnarray*}$ ) besteht immer aus allen Elementen $\begin{eqnarray*} 1\leq k \leq n \end{eqnarray*}$ , die zu n teilerfremd sind. Ist n eine Primzahl, so sind dies demnach alle Zahlen 1, 2, ..., n-1. Für n=17 ergibt sich $\begin{eqnarray*} \# G = 16 \end{eqnarray*}$ .

Ist n=p eine Primzahl, so ist die prime Restklassengruppe zyklisch; das heißt, man kann tatsächlich ein Element finden, welches die Gruppe erzeugt. Etwa das Element 3:
3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16=-1, ...
Hier kann man schon aufhören, denn wie du schon richtig sagst, ist die Ordnung eines Elementes immer ein Teiler der Gruppenordnung. Die Gruppenordnung ist hier 16 und an der obigen Rechnung / Liste erkennt man, dass die Ordnung des Gruppenelementes 3 größer als 8 ist, also verbleibt nur noch 16 als einzige Möglichkeit. Anders formuliert: Das Erzeugnis des Elementes 3 ist schon ganz G.
(Erzeugende Elemente einer Gruppe sind nicht eindeutig bestimmt; wenn du magst, probier mal, ob etwa die 10 oder die 5 auch die Gruppe erzeugen.)

Soviel zu zyklischen Gruppen und wie man diese erzeugen kann.

Was du nun gemacht hast, ist: Du hast die Ordnung des Gruppenelementes 2 bestimmt! Denn du hast dir dieses Element hergenommen und das Erzeugnis dieses Elementes betrachtet. Dieses hat 8 Elemente. Also hat das Element 2 in der primen Restklassengruppe modulo 17 gerade die Ordnung 8.

LG
sibelius84

02.04.2018, 14:52

Philipp_

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Vielen Dank, sibelius84, für diese wunderbare Erklärung!

Habs endlich verstanden Wink

04.04.2018, 16:47

Philipp_

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RE: endliche Gruppen: Ordnung eines Gruppenelements wie berechnen?
noch eine Frage:
sind die einzelnen Elemente der Gruppe eigentlich die Zahlen an sich oder stehen sie jeweils für eine Restklasse?

Danke!

05.04.2018, 14:43

sibelius84

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Sie stehen für eine Restklasse. Wenn man etwa aufschreibt $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 3\mathbb Z = \{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ , ist das schon eine Abkürzung, die die Kenntnis des Lesenden voraussetzt, dass hier die Symbole 0,1,2 anders zu interpretieren sind als im Normalfall.

(edit - korrigiert)
Ganz korrekt wäre also
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / 3\mathbb Z)^\times = \{\overline 1,\overline 2\} \end{eqnarray*}$ (bzw.: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 3\mathbb Z = \{\overline 0, \overline 1,\overline 2\} \end{eqnarray*}$ ), wobei

$\begin{eqnarray*} \overline 0 = \{\ldots, -6,-3,0,3,6,9,\ldots\} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \overline 1 = \{\ldots, -5,-2,1,4,7,10,\ldots\} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \overline 2 = \{\ldots, -4,-1,2,5,8,11,\ldots\} \end{eqnarray*}$ .

05.04.2018, 14:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von sibelius84
(Erzeugende Elemente einer Gruppe sind nicht eindeutig bestimmt; wenn du magst, probier mal, ob etwa die 10 oder die 5 auch die Gruppe erzeugen.)

Ergänzend sei hinzugefügt: Ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ überhaupt zyklisch (was genau für $\begin{eqnarray*} n=2,4,p^r,2p^r \end{eqnarray*}$ mit ungerader Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ der Fall ist), dann gibt es genau $\begin{eqnarray*} \varphi(\varphi(n)) \end{eqnarray*}$ mögliche Erzeuger, welche man schnell finden kann, sofern man erstmal einen gefunden hat, wie hier $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ :

Es sind die Elemente $\begin{eqnarray*} g^k \end{eqnarray*}$ mit Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , die teilerfremd zu $\begin{eqnarray*} \varphi(n) \end{eqnarray*}$ sind.

Im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} n=17 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(n)=16 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} g=3 \end{eqnarray*}$ sind das somit alle $\begin{eqnarray*} 3^k \end{eqnarray*}$ mit ungeradem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , insgesamt $\begin{eqnarray*} \varphi(16)=8 \end{eqnarray*}$ Stück. Was hier nun just jene 8 Werte aus $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/17\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ sind, die hier

Zitat:

Original von Philipp_
$\begin{eqnarray*} \left\{ 2,4,8,16,15,13,9,1\right\} \end{eqnarray*}$

nicht gelistet sind. smile

Zitat:

Original von sibelius84
Ganz korrekt wäre also
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / 3\mathbb Z)^\times = \{\overline 0,\overline 1,\overline 2\} \end{eqnarray*}$

Wirklich korrekt wäre $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / 3\mathbb Z)^\times = \{\overline 1,\overline 2\} \end{eqnarray*}$ , denn die Null $\begin{eqnarray*} \overline 0 \end{eqnarray*}$ bleibt außen vor, im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , wo sie natürlich dazugehört. Augenzwinkern

05.04.2018, 18:41

sibelius84

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Stimmt, wir sind ja bei primen Restklassengruppen! Soeben korrigiert. smile

06.04.2018, 18:03

Philipp_

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Ist prime Restklassengruppe $\begin{eqnarray*} G_{1} = \left(\mathbb Z/p\mathbb Z\right)^{\times } = \left(\mathbb Z/p\mathbb Z\right)^{*} \end{eqnarray*}$ also eine Untermenge vom Restklassenring $\begin{eqnarray*} G_{2} = \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb P \end{eqnarray*}$ ) und in der Untermenge fehlt das neutrale Element bezüglich Addition?

Allmählich verstehe ichs...

06.04.2018, 23:41

sibelius84

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$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / n \mathbb Z)^\times \end{eqnarray*}$ besteht gerade aus allen denjenigen Elementen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , die multiplikativ invertierbar sind. Ist n eine Primzahl, so besteht $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / n \mathbb Z)^\times \end{eqnarray*}$ aus allen Elementen außer der 0, ja; also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ dann sogar ein Körper!

$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / n \mathbb Z)^\times \end{eqnarray*}$ ist aber kein Unterring von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , weil es keine additive (Unter-)Gruppe ist; z.B. ist stets 1 und -1 enthalten, aber 1+(-1)=0 nicht.

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