Bahn von Z_6

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janalop Auf diesen Beitrag antworten »
Bahn von Z_6
Hallo,

ich möchte eine Erklärung von folgenden Aussagen:

Sei und die zyklische Permutation der Elemente von M. Dann ist eine Untergruppe von . Wie die volle symmetrische Gruppe, operiert auch G auf M durch Anwenden. M besteht aus genau einer Bahn nämlich G operiert auf M, M = G*0. Wir können G jedoch auch auf den 2-elementigen Teilmengen von M operieren lassen. Es gilt und G hat auf genau 3 Bahnen:

, der Länge 6,
, der Länge 6
, der Länge 3.

Fragen:

1. Wie genau ist die Mächtigkeit 15? Also ich weiß, dass ich alle möglichen Werte aufschreiben und zählen kann aber der Prof hat erwartet, dass wir die Lösung in Sekunden sagen.
2. Die Definition einer Bahn ist: und es gibt 6 Elemente von M. Wieso ist G*0 die einzige Bahn?
3. Wieso ist {0,4} und {0,5} keine Bahnen von Pot(M)?
janalop Auf diesen Beitrag antworten »

Meine dritte Frage ist erledigt. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bahn von Z_6
Zitat:
Original von janalop
1. Wie genau ist die Mächtigkeit 15? Also ich weiß, dass ich alle möglichen Werte aufschreiben und zählen kann aber der Prof hat erwartet, dass wir die Lösung in Sekunden sagen.


Es gibt Möglichkeiten für zweielementige Mengen einer sechselementigen Menge. Etwas anders formuliert: Auf so viele Arten kann man aus 6 Elementen 2 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählen.
Diese Binomialkoeffizienten lösen ein Grundproblem der Kombinatorik. Sie sollten dir in der Schulmathematik schon begegnet sein, vielleicht im Kontext der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Zitat:
Original von janalop
2. Die Definition einer Bahn ist: und es gibt 6 Elemente von M. Wieso ist G*0 die einzige Bahn?


Es gilt ja (Addition modulo 6), speziell für also . Jedes Element liegt also in der Bahn von 0.
janalop Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für den Beitrag. Ja hast du recht. Das ist bei mir überflogen. Meine zweite Frage habe ich auch allein hingekriegt.
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