Anwendung Farkas Lemma

04.04.2018, 18:30	Rauxi	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung Farkas Lemma Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} L \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ein Unterraum und $\begin{eqnarray} P \cup N \cup \cup O \cup S = \{2, \ldots n \} \end{eqnarray}$ eine Partition der Indexmenge ohne die 1. Man zeige: Es existiert entweder ein $\begin{eqnarray} x \in L \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \begin{cases} x_i > 0 & i=1 \\ x_i \geq 0 & i \in P \\ x_i \leq 0 & i \in N \\ x_i=0 & i \in O \end{cases} \end{eqnarray}$ oder es gibt ein $\begin{eqnarray} y \in L^{\perp} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \begin{cases} x_i > 0 & i=1 \\ x_i \geq 0 & i \in P \\ x_i \leq 0 & i \in N \\ x_i=0 & i \in S \end{cases} \end{eqnarray}$ aber nicht beides. Meine Ideen: Hallo liebes Forum, an dieser Aufgabe komme ich gerade nicht weiter. Dass es nicht beides geben kann ist klar wegen Orthogonalität. Ansonsten geht es hier ja um die Anwendung von Farkas Lemma. Ich überlege, wie ich hier einen geeigneten Vektor konstruieren kann. Farakas lemma sagt mir ja, dass ein $\begin{eqnarray} x \in L \end{eqnarray}$ oder ein $\begin{eqnarray} y \in L^{\perp} \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} x_1 > 0 x_{2, \ldots n} \geq \in L^{\perp} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y_1 > 0 y_{2, \ldots n} \geq \in L^{\perp} \end{eqnarray}$ Nur hilft mir diese erkenntnis nicht weiter, da ich von diesem Punkt nichts weiter konstruieren kann. Ich hatte überlegt nur einen Teil der Partition zu betrachten, also $\begin{eqnarray} \{1 \} \cup P \end{eqnarray}$ und hier das Lemma zu nutzen. Dann habe ich ja einen Vektor, der die ersten Bedingungen erfüllt. Nur weiß ich nicht, was ich damit anfangen soll, um das auf ganz $\begin{eqnarray} L, L^{\perp} \end{eqnarray}$ auszuweiten. Kann mir jemand einen Hinweis geben? Vielen Dank! Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
11.04.2018, 22:45	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, da gibt es mehrere, um nicht zu sagen mannigfache mögliche Herangehensweisen. (1) generell: Wir haben ja für eine beliebige Matrix A, dass $\begin{eqnarray} ker(A)^\perp = Bild(A^\top) \end{eqnarray}$ . Das heißt: Entweder gibt es $\begin{eqnarray} x\in ker(A) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x=A^\top w\in Bild(A^\top) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_1>0,x_j\geq 0, j=2,\ldots,n \end{eqnarray}$ , aber nicht beides. Hier kann man viele schöne lustige Matrizen basteln und schauen, was dann so rauskommt. (2) Evtl. ist es einfacher, eine geeignete Matrix A für Variante 1 zu finden. In der vorliegenden Aufgabe könnte man es evtl auch mit einer "Shiftung von Untervektorräumen" probieren: Zu L betrachte zunächst den "N-gespiegelten" UVR $\begin{eqnarray} L_N:=\{x\in\mathbb R^n\,\vert\,\exists l \in L \colon l_i = x_i \text{ für }i\notin N, l_i=-x_i \text{ sonst}\} \end{eqnarray}$ . Bringt zwar noch nicht die Behauptung, aber zur Demonstration: Hierauf angewendet liefert Farkas' Lemma, dass entweder ein $\begin{eqnarray} x \in L \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \begin{cases} x_i > 0 & i=1 \\ x_i \geq 0 & i \in P \\ x_i \leq 0 & i \in N \\ x_i\geq 0 & i \in O \\ x_i\geq 0 & i \in S \end{cases} \end{eqnarray}$ oder ein $\begin{eqnarray} y \in L^{\perp} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \begin{cases} x_i > 0 & i=1 \\ x_i \geq 0 & i \in P \\ x_i \leq 0 & i \in N \\ x_i\geq 0 & i \in O \\ x_i\geq 0 & i \in S \end{cases} \end{eqnarray}$ existiert, aber nicht beides. (Für $\begin{eqnarray} (L_N)^\perp =(L^\perp)_N \end{eqnarray}$ muss man sich noch überlegen, dass der Übergang 1 zu -1 in einzelnen Koordinaten ceteris paribus als Zusammensetzung von Spiegelungen eine orthogonale Abbildung ist, die mithin Orthogonalitätseigenschaften unverändert lässt.) Der zweite Schritt ist dann schwieriger: Man benutzt (wie häufig in diesem Zusammenhang), dass $\begin{eqnarray} x_i=0\Leftrightarrow x_i\geq 0 \land (-x_i)\geq 0 \end{eqnarray}$ . Sei also $\begin{eqnarray} \omega:=\# O, \; O=\{o_1,\ldots,o_\omega\} \end{eqnarray}$ , dann definieren wir $\begin{eqnarray} L_{N,O}\subseteq \mathbb R^{n+\omega} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} L_{N,O}:=\left\{\begin{pmatrix}l_1 \\ \vdots \\ l_n \\ -l_{o_1}\\ \vdots \\ -l_{o_\omega} \end{pmatrix} \; \Bigg\vert \; l = \begin{pmatrix}l_1 \\ \vdots \\ l_n \end{pmatrix} \in L_N \right\} \end{eqnarray}$ . Nun musst du nur noch schauen, wie du das reinbastelst, dass entweder die O-Komponenten oder die S-Komponenten von x verschwinden sollen, und dass die Orthogonalität erhalten bleibt. LG sibelius84
12.04.2018, 19:40	Rauxi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, vielen Dank. Dann habe ich jetzt zwei Ansätze, über die noch mal nachdenken kann! VG

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