Rotationskörper Schnittflächen

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hamounm Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper Schnittflächen
Hallo,

ich habe einige Schwierigkeiten mit der Teilaufgabe f) dieser alten Abiturklausur.

Zunächst einmal habe ich generell enorme Probleme mir Rotationskörper bildlich vorzustellen, vor allem wenn die Schnittfläche zwischen zwei Funktionen der Rotationskörper ist. Habt ihr dazu vielleicht Tipps?

Damit geht einher, dass ich mir in der Aufgabe die verschiedenen Formen von Schnittflächen (Kreise bzw. Kreisringe) nicht wirklich vorstellen kann, und warum diese entstehen.

Im Anhang ist meine Zeichnung und der Erwartungshorizont der Aufgabe.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationskörper Schnittflächen
Zunächst einmal habe ich generell enorme Probleme mir Rotationskörper bildlich vorzustellen, vor allem wenn die Schnittfläche zwischen zwei Funktionen der Rotationskörper ist. Habt ihr dazu vielleicht Tipps?

Der Rotationskörper wird ja erzeugt, indem man das angegebene Flächenstück um die Rotationsachse dreht. Im vorliegenden Beispiel ist das zu drehende Flächenstück das in der Zeichnung grau dargestellte Gebiet zwischen den beiden Kurven. Rotationsachse ist die y-Achse. Schneide dir ein Stück Karton in der Form des grauen Gebiets aus, zeichne darauf auch das Stücklein der y-Achse ein, das in ihm liegt. Und nun drehst du das Pappstück um diese Drehachse. Dabei überstreicht es im Raum ein Raumgebiet, das dann dem Drehkörper entspricht. Der sieht hier aus wie eine elegant geformte Schale, die man tatsächlich auch auf einer Drehbank aus einer Holzscheibe herausdrechseln könnte.

Damit geht einher, dass ich mir in der Aufgabe die verschiedenen Formen von Schnittflächen (Kreise bzw. Kreisringe) nicht wirklich vorstellen kann, und warum diese entstehen.

Diese Schnittflächen entstehen, indem man nun diese Schale durch Schnitte senkrecht zur Rotationsachse "zersägt". Liegt eine solche Schnittebene ganz unten (knapp über dem tiefsten Punkt der Schale), so entsteht als Schnittfläche eine Kreisscheibe. Rückt man aber die Schnittfläche höher, kommt man schliesslich an den tiefsten Punkt des Innenbodens der Schale. Von da an entsteht natürlich ein Loch in der Schale, und außenrum bleibt als Schnittfläche eben nur noch eine Kreisringfläche.

Nachweisen soll man nun insbesondere, dass alle diese durch solche Schnitte entstehenden Kreisringflächen genau denselben Flächeninhalt haben. Dieser ist dann (wie leicht zu verstehen ist) auch gerade noch identisch mit dem größtmöglichen Kreisflächeninhalt (für jenen Schnitt, der den Innenboden gerade in dessen Mittelpunkt berührt.

Auf die dazu nötigen Rechnungen gehe ich jetzt (noch) nicht ein, weil du danach gar nicht gefragt hast.
hamounm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationskörper Schnittflächen
Zitat:
Original von rumar
Zunächst einmal habe ich generell enorme Probleme mir Rotationskörper bildlich vorzustellen, vor allem wenn die Schnittfläche zwischen zwei Funktionen der Rotationskörper ist. Habt ihr dazu vielleicht Tipps?

Der Rotationskörper wird ja erzeugt, indem man das angegebene Flächenstück um die Rotationsachse dreht. Im vorliegenden Beispiel ist das zu drehende Flächenstück das in der Zeichnung grau dargestellte Gebiet zwischen den beiden Kurven. Rotationsachse ist die y-Achse. Schneide dir ein Stück Karton in der Form des grauen Gebiets aus, zeichne darauf auch das Stücklein der y-Achse ein, das in ihm liegt. Und nun drehst du das Pappstück um diese Drehachse. Dabei überstreicht es im Raum ein Raumgebiet, das dann dem Drehkörper entspricht. Der sieht hier aus wie eine elegant geformte Schale, die man tatsächlich auch auf einer Drehbank aus einer Holzscheibe herausdrechseln könnte.

Damit geht einher, dass ich mir in der Aufgabe die verschiedenen Formen von Schnittflächen (Kreise bzw. Kreisringe) nicht wirklich vorstellen kann, und warum diese entstehen.

Diese Schnittflächen entstehen, indem man nun diese Schale durch Schnitte senkrecht zur Rotationsachse "zersägt". Liegt eine solche Schnittebene ganz unten (knapp über dem tiefsten Punkt der Schale), so entsteht als Schnittfläche eine Kreisscheibe. Rückt man aber die Schnittfläche höher, kommt man schliesslich an den tiefsten Punkt des Innenbodens der Schale. Von da an entsteht natürlich ein Loch in der Schale, und außenrum bleibt als Schnittfläche eben nur noch eine Kreisringfläche.

Nachweisen soll man nun insbesondere, dass alle diese durch solche Schnitte entstehenden Kreisringflächen genau denselben Flächeninhalt haben. Dieser ist dann (wie leicht zu verstehen ist) auch gerade noch identisch mit dem größtmöglichen Kreisflächeninhalt (für jenen Schnitt, der den Innenboden gerade in dessen Mittelpunkt berührt.

Auf die dazu nötigen Rechnungen gehe ich jetzt (noch) nicht ein, weil du danach gar nicht gefragt hast.


Ich danke dir vielmals. Mein (dummer) Fehler war, dass ich mir aus irgendeinem Grund vorgestellt habe, dass die Fläche um 90° gedreht wird, und dann um die y-Achse rotiert wird. Bin gar nicht auf die Idee gekommen, dass das auch so geht, wie du das beschrieben hast.

Mit der Rechnung hatte ich dann zum Glück keine Schwierigkeiten.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationskörper Schnittflächen
Hallo hamounm,

schön, dass es jetzt geklappt hat. Ich hatte schon die Vermutung,
dass es an der korrekten räumlichen Anschauung liegen könnte und
habe mir deshalb diesbezüglich die Mühe für eine ausführliche
Beschreibung genommen.

Schönen Tag !
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