Sei K Unterkörper von R. Zeige Q Teilmenge von K

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jan-232 Auf diesen Beitrag antworten »
Sei K Unterkörper von R. Zeige Q Teilmenge von K
Meine Frage:
Hallo Matheoard Gemeinschaft!

Im Titel steht bereits die Aufgabe, K ist ein Unterkörper von R (reale Zahlen).
Damit soll ich zeigen, dass Q (rationale Zahlen) eine Teilmenge von K ist.

Meine Ideen:
Ich bin bisher so vorgegangen:

Da K Teilmenge R ist folgt dass 0, 1, Elemente aus K sind. (neutrales und Einselelement)

Da Q ein Primkörper ist (habe ich in einem anderen Beispiel bewiesen) und K Unterkörper von R ist folgt, dass K keine Teilmenge von Q sein kann.
Maximal Q = K.

Ich muss also noch irgendwie zeigen, dass K Elemente enthält die Q nicht enthält.

Ich denke, dass das daraus folgen könnte dass K abgeschlossen bezüglich der Multiplikation und Addition ist.

Danke schon vorab für die Hilfe!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht ausgeschlossen, dass ist, denn auch ist ein Teilkörper von . Also ist nichts weiter zu zeigen. (Was verstehst du unter Primkörper, und wie schließt du daraus ?)
Man nennt Elemente von nicht reale Zahlen sondern reelle Zahlen. Alle Zahlen haben denselben Anspruch auf Existenz und Realität, nicht nur die reellen Zahlen sind real.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Man nennt Elemente von nicht reale Zahlen sondern reelle Zahlen.

Mit dem Vormarsch des Denglischen ist bestimmt bald auch ersteres gestattet. Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der falsche Sprachgebrauch führt uns zurück ins 18. Jahrhundert, denn damals hielt man tatsächlich nur die reellen Zahlen für real, die komplexen Zahlen für imaginär. Komisch daran ist, dass man damals weder die reellen noch die komplexen noch sonst irgendwelche Zahlen außer den rationalen Zahlen wirklich kannte. Wenn man bedenkt, dass die Dedekind-Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen im 19. Jahrhundert entwickelt wurden, kann man sogar bezweifeln, dass im 18. Jahrhundert die rationalen Zahlen verstanden wurden.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@jan-232
Eigentlich hast du ganz gut angefangen mit einem konstruktiven Beweis, denn du hast als neutrale Elemente der additiven Gruppe und der multiplikativen Gruppe . Wegen der Abgeschlossenheit der Addition von ist dann , also , und weil Gruppe ist, sind alle additiven inversen Elemente in , also . Weil eine Gruppe ist, sind dann alle multiplikativ inversen Elemente für in , und wegen der Abgeschlossenheit der Multiplikation sind alle in . Also . qed.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Beweis unter Mitwirkung des Primkörpers hätte ich gerne gesehen. Redest du noch mit mir ? Wink
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