Satz vom iterierten Erwartungswert

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Satz vom iterierten Erwartungswert
Hallo,

im Lehrbuch habe ich Erläuterungen zum Satz vom iterierten Erwartungswert: Zunächst ist mit den Zufallsvariablen der bedingte Erwartungswert

gegeben. Der Satz vom iterierten Erwartungswert besagt, dass der Erwartungswert der bedingten Erwartung von gegeben gleich dem einfachen Erwartungswert von ist:
.

Ich versuche das an einem Zahlenbsp. nachzuvollziehen: ein Bsp. sei die gemeinsame Dichtefunktion von und
, beide von 0 bis 1.
Dann ist
,
,
.

ist offenbar der Wert, den im Mittel produziert, wenn ein festgehaltener Wert ist. Jetzt verstehe ich aber eigentlich nicht was bedeuten soll? Letztendlich muss ich ja wohl irgendwie auf den Wert

kommen?

Vielen Dank für Aufklärung! Vielleicht gibts dazu auch ein besseres Bsp. als das von mir gewählte, insbesondere zur praktischen Anwendung dieses Satzes.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast berechnet für alle .

Das ist gleichbedeutend mit .

Du musst das inhaltlich sorgfältig unterscheiden:

a) ist für jedes feste einfach ein Wert (reelle Zahl).

b) hingegen ist eine -messbare Zufallsgröße!

Die Berechnung von läuft daher dann über

,

also derselbe Wert wie über den einfacheren direkten Weg - wie es sein muss. Augenzwinkern
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Hallo HAL9000,

danke für die Antwort! ist also die Erwartung der bedingten Erwartung wenn man alle möglichen Realisierungen von betrachtet?

Gibts da ein gutes einfaches Bsp. für die praktische Anwendung dieser Regel? Im Buch ist dies einfach nur als Satz hingeschrieben, ohne direkt Bezug für weitere Berechnungen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ein einfaches Beispiel? verwirrt

Na nehmen wir mal den einfachen Würfelwurf, d.h. Zufallsgröße auf Laplace-Raum .

Nun sei die Indikatorvariable dafür, dass das Wurfergebnis 5 oder 6 ist. Dann ist

sowie ,

man könnte das zusammenfassen zu . Nun ist und damit dann

,

was ja nun auch bekanntermaßen bei herauskommen muss.


Das Beispiel zeigt, was bei so einer bedingten Erwartung passiert: Die Ausgangszufallsgröße wird bezogen auf die Basisereignisse der "vergröberten" Sigma-Algebra gemittelt - in dem Beispiel oben werden sowohl 1,2,3,4 in einen Topf geworfen und jeweils der Wert zugeordnet und in einem zweiten Topf landen 5,6 mit dem dann zugeordneten Wert . Und der (gewichtete) Mittelwert dieser Mittelwerte entspricht dann wieder dem Ausgangsmittelwert , das sollte heuristisch doch irgendwie plausibel sein. Augenzwinkern

Im diskreten ist das also alles noch ganz gut zu verstehen. Im Fall stetiger Zufallsgrößen kann das dann schon etwas haariger werden - aber damit befassen wir uns, wenn es soweit ist. smile
Likelike Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist anschaulich verständlich. Vielen Dank! smile
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