Das Inverse einer Matrix berechnen

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Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »
Das Inverse einer Matrix berechnen
Meine Frage:
Hallo,

ich möchte das Inverse einer Matrix berechnen. Die Matrix sieht folgendermaßen aus:
. Dabei ist ein sehr kleiner Parameter und beschreiben Forward-Backward-Matrizen mit der Eigenschaft .

Edit (mY+): LaTeX kleinere Fehler berichtigt (\hdots = \ldots oder einfach .. und im mathrm-Text Trennung mit \

Meine Ideen:
Da der Parameter Kappa klein ist, kann man das Matrix-Inverse über eine Von-Neumann-Reihe bzw. geometrische Reihe ausdrücken. Anschließend habe ich die Terme der ersten Ordnungen in Kappa ausgeschrieben und dann resummiert. Ich erhalte:
.
Allerdings komme ich an dieser Stelle nicht weiter. Wie berechne ich die k-Summe? Mathematica gibt mir folgenden Ausdruck für die k-Summe an:


wobei ist und Hypergeometric die hypergeometrische Funktion darstellt. Doch diese Funktion enthält das Argumemt 3/2 - n/2, welches für ungerade n und für n > 3 eine negative ganze Zahl ergibt. In der hypergeometrischen Funktion sind Gamma-Funktionen enthalten und wir wissen, dass diese bei negativen, ganzen Zahlen divergiert. (!)

Für einige Tipps wäre ich dankbar!!

Viele Grüße
Widderchen

Edit: Ich habe die Rechnung erneut durchgeführt und im vorigen Thread vergessen zu erwähnen, dass ich lediglich alle geraden Potenzen in Kappa betrachten soll. Außerdem ist die Von-Neumann-Reihe vielmehr eine Partialsumme, die bis zur Dimension der Matrix erfolgt, in meinem Fall also eine -Matrix darstellt, wobei N_t die Anzahl der Gitterpunkte in zeitlicher Richtung sind. Ich erhalte somit:


Durch eine Indexverschiebung i := k-n gibt Mathematica mir das folgende Resultat:
und da beide Indizes kann der Index k erneut in den index n umbenannt werden, damit ergibt sich (die Einheitsmatrix wurde als 0-ter Summand in die Summe absorbiert):
.

Sind die ausgeführten Rechenschritte korrekt? Das größte Problem ist die Indexverschiebung, denn nur wenn ich den Index i nicht explizit von k abhängig mache, also die Indexverschiebung k=i+n im Binomialkoeffziienten und in der kappa-Potenz ignoriere, gibt Mathematica mir dieses Ergebnis an. Ansonsten erhalte ich:
.

Welches der beiden Resultate ist nun korrekt? Das Resultat mit der Zweier-Potenz wäre für mich natürlich "angemessener", da dieser nicht so kompliziert aussieht und ich Ausdrücke aus hypergeometrischen Funktionen möglichst meiden möchte! XD
Ich werte aber noch die hypergeometrische Funktion aus, vielleicht kann man diesen zusätzlich vereinfachen! Augenzwinkern

Für Hinweise auf Rechenfehler oder Anregungen wäre ich dankbar!

Viele Grüße
Widderchen
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