Beweis Kürzungsregeln in einer Gruppe

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mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Kürzungsregeln in einer Gruppe
Hallo,

ich muss folgende Aufgabe lösen:

Zitat:
Es sei eine Gruppe. Beweisen Sie die folgenden Kürzungsregeln:
(a) Für alle gilt wenn und nur wenn .
(b) Für alle gilt wenn und nur wenn .


Ich habe das folgendermaßen formalisiert (ich gehe im Folgenden mal nur von der Aufgabe (a) aus, um überhaupt mal den Beweisansatz zu verstehen):

Meine Überlegungen zur Beweisführung:

Zur Verfügung stehen mir zur Beweisführung zunächst mal die allgemeinen Eigenschaften der Gruppe:
(G1) Neutrales Element:
(G2) Inverses Element:
(G3) Assoziativität:

und daraus abgeleitet:
(G4):
(G5): Das Inverse eines Elements ist eindeutig.

Ich habe mir überlegt, die Aussage direkt zu beweisen, d.h. ich muss zwei Dinge beweisen:
(a1)
(a2)

Bei (a1) muss ich von mittels Anwendung obiger Definitionen und Umformungen auf kommen, bei (a2) umgekehrt. Ich beziehe mich im folgenden erstmal nuf auf (a1).

Der direkte Weg dafür wäre, über die mir bekannten Definitionen das x auf beiden Seiten von zu eliminieren. Das gelingt mir aber nicht. Nur wenn ich (G4) auf beide Seiten anwende, dann schaffe ich es, das x loszuwerden. Damit werde ich aber natürlich auch das p und das q los und komme zu einer eher nichtssagenden Aussage e=e anstatt wie erhofft zu p=q. Ansonsten hab ich eine Reihe von anderen Wegen ausprobiert, die mich immer wieder auf x*p=x*q zurückbringen, aber mir nie was darüber sagen, warum aus x*p=x*q p*q folgt. Oft denke ich mir auch: Ich kann mir die Implikationen zunutze machen, die p=q für p und für q hat (z.B. ). Aber dann setze ich ja schon voraus, was ich beweisen will.

Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich mich dem annähern soll? Ist das überhaupt vernünftig, da den direkten Beweis zu führen? Ich steh da ziemlich an. Danke!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Für (a1) hilft Dir Axiom G2
(a2) ist klar?
mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Für (a1) hilft Dir Axiom G2
(a2) ist klar?

(a2) hab ich noch nicht probiert.

Bei (a1) komm ich leider auch mit diesem Hinweis nicht weiter. Durch G2 "passiert" nichts, d.h. ich komme im Endeffekt immer wieder nur auf denselben Ausdruck wie vorher. Das ist an sich ja auch nicht überraschend, weil ich ja im Endeffekt nur ein länger ausformuliertes e hineinschreibe. Also ich müsste mir dasjenige, das ich durch G2 in die Gleichung reinbringen kann, irgendwie zunutze machen, indem ich z.B. im Term, der für e steht, eine Variable substituiere. Aber da finde ich einfach nichts Geeignetes, wie ich von dort aus weiterkomme.

Ist der Ansatz überhaupt richtig – dass ich x eliminiere? Oder müsste ich mir was anderes überlegen, um die Implikation zu beweisen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Genau darum geht es: Das x zu eliminieren und wie wird aus x ein e? Richtig: Mithilfe von G2 (in Kombination mit G3, wenn man es korrekt machen will)
mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute mal, ich mache einen sehr banalen Rechenfehler, aber ich beschreibe mal, was ich da versuche: Wann immer ich der Gleichung ein e hinzufüge, das ich durch oder ersetze, bleibt am Ende ein x übrig, das ich nicht wegkriege, weil ich ja aufgrund des bereits gegebenen x immer mehr x habe als ich durch e erhalte. Bspw. wenn ich es folgendermaßen versuche für die linke Seite:

1.
2.
3.
4.
5.

Also ja: Ich kann das gegebene x eliminieren, aber ich erhalte dann eben ein neues x. Setze ich das e einfach an den falschen Stellen ein und muss einfach nur die finden, wo sich das x dann tatsächlich ersatzlos "auflöst"?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du nur ersetzt, wird das auch nichts. Du musst die Gleichung mit einem geeigneten Element multiplizieren, um das x zu eliminieren.
 
 
mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich war aus irgendeinem Grund auf dem Film, dass ich bei Gruppengleichungen keine Äquivalenzumformung machen darf... Aber ich darf auf beiden Seiten *a machen (mit a als irgendein beliebiges Element aus G), und nur *a (da * die einzige definierte Operation der Gruppe ist), oder? Ich würde das dann folgendermaßen machen:

1. // jeweils links der Ausdrücke auf beiden Seiten füge ich ein
2. //
3.
4.

Ist das richtig? (Es kommt mir schon sehr einfach vor.)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist einfach, wenn man das Prinzip erst einmal verstanden hat.
Ziel solcher Aufgaben ist es sich nur an die gegebenen Axiome zu halten und daraus Schlüsse zu ziehen. Ein Grundprinzip der Mathematik.
mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »

OK, fein! Der Rest der Aufgabe ging dann ziemlich flott... smile Vielen Dank!
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