Bestimmung des Zeitpunktes des maximalen Schneefalls

08.04.2018, 19:13

cmplx96

Bestimmung des Zeitpunktes des maximalen Schneefalls

Hallo zusammen,

die Aufgabe lautet:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ beschreibt die momentane Schneefallmenge für jeden Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ im Januar
$\begin{eqnarray*} s(t) = 400 \cdot t \cdot e^{-\frac{t}{8}} \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Zeit in Tagen seit Beginn der Erfassung am 01.01.2017 um 0:00 Uhr ist und $\begin{eqnarray*} s(t) \end{eqnarray*}$ die Schneemänge in $\begin{eqnarray*} m^3 \end{eqnarray*}$ pro Tag.

a) Zeigen Sie, dass der Zeitpunkt mit der maximalen momentanen Schnefallmenge $\begin{eqnarray*} t_{max} = 8 \end{eqnarray*}$ ist
b) Bestimmen Sie daraus den Tag mit dem maximalen Schneefall

Meine Ideen:

zu a)
zunächst habe ich die erste Ableitung berechnet, um die Extremstellen zu bestimmen:
$\begin{eqnarray*} s'(t) = 50 \cdot e^{-\frac{t}{8}} \cdot (8-t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 50 \cdot e^{-\frac{t}{8}} \cdot (8-t) \Leftrightarrow t = 8 \end{eqnarray*}$

Weiterhin gilt:
$\begin{eqnarray*} s''(t) = 50 \cdot e^{-\frac{t}{8}} \cdot (\frac{1}{8}t -2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s''(8) = - \frac{50}{e} < 0 \end{eqnarray*}$

also liegt ein Maximum vor.

zu b)
hier bin ich etwas verwirrt.
Müsste das nicht ebenfalls $\begin{eqnarray*} t=8 \end{eqnarray*}$ sein?
Der Zeitpunkt mit der maximalen momentanen Schneefallmenge müsste doch gleich dem Tag mit der maximalen Tagesschneefall sein?

Danke schonmal!

08.04.2018, 20:25

rumar

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RE: Bestimmung des Zeitpunktes des maximalen Schneefalls
Eine durch ein Produkt aus linearer und exponentieller Funktion exakt definierte Schneefallfunktion (für einen ganzen Monat gültig): das ist wohl eine Aufgabe aus der Zukunft, wo es Schnee nur noch aus Schneekanonen geben wird ...

Da der "Buckel" der Funktion keineswegs symmetrisch aussehen muss, kann es durchaus möglich sein, dass der Zeitpunkt mit dem stärksten momentanen Schneefall z.B. am 7.Januar um 23Uhr ist (wenn an diesem Tag der Schneefall stark zugenommen hat). Weil in der Folge die Schneefallmenge pro Stunde nur relativ langsam abnimmt, kann es durchaus sein, dass am 8.Januar (von 0 bis 24 Uhr) insgesamt mehr Schnee fällt als am Vortag (7.Jan.) von 0 bis 24 Uhr.

Ich habe nun die Aufgabe durchgerechnet. Doof finde ich dabei, dass offenbar der Zeitpunkt mit dem stärksten Schneefall ausgerechnet exakt auf Mitternacht fällt. Meine obige Überlegung wird dadurch irgendwie entwertet !

09.04.2018, 16:01

rumar

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RE: Bestimmung des Zeitpunktes des maximalen Schneefalls
zu b)
hier bin ich etwas verwirrt.
Müsste das nicht ebenfalls t=8 sein?
Der Zeitpunkt mit der maximalen momentanen Schneefallmenge müsste doch gleich dem Tag mit der maximalen
Tagesschneefallmenge sein?

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Da t=8 aber exakt auf Mitternacht fällt, kommen eben wohl für die maximale Schneemenge der 8. oder der
9. Januar in Frage. Ich tippe mal auf den 9. Januar.

Allerdings könnte man sich (komplexer gestaltete) Funktionen vorstellen, bei welchen das momentane Maximum
weitab vom Tag mit der größten Totalmenge liegt !

Für die Argumentation, dass im vorliegenden Beispiel tatsächlich der 9.Januar (und nicht z.B. der 15.Januar)
der Tag mit der maximalen Schneefallmenge ist, muss man auch noch weitere Argumente vorlegen, wenn
die Lösung vollständig sein soll !

09.04.2018, 16:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von rumar
Da t=8 aber exakt auf Mitternacht fällt, kommen eben wohl für die maximale Schneemenge der 8. oder der
9. Januar in Frage.

Nun, auch wenn die Maximumstelle nicht genau auf Mitternacht gefallen wäre, ist trotzdem die Schneemengenbetrachtung beider Tage fällig! Schließlich ist die hier zu betrachtende Dichtefunktion nicht bzgl. der Maximumstelle symmetrisch, was natürlich Auswirkungen auf die Integralwerte der Schneemengenberechnung hat.

11.04.2018, 15:32

rumar

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Betr. genaues Lesen ...
Hallo HAL 9000,

genau damit habe ich mich ja schon in meinem ersten Beitrag im Detail beschäftigt, und wenn du meinen letzten Beitrag genau gelesen hättest, hättest du auch gemerkt, dass ich auch da nicht einfach die beiden Tage zur Auswahl stelle, sondern eine zusätzliche Untersuchung (eben z.B. durch die Betrachtung der Asymmetrie) erwarten würde.
Ich habe doch vorher gezeigt, dass der momentan stärkste Schneefall eben sogar an einem anderen Tag als an jenem mit der insgesamt größten Schneefallmenge sein kann.

Und diesen Satz hast du vielleicht auch nicht bewusst wahrgenommen:

"Für die Argumentation, dass im vorliegenden Beispiel tatsächlich der 9.Januar (und nicht z.B. der 15.Januar)
der Tag mit der maximalen Schneefallmenge ist, muss man auch noch weitere Argumente vorlegen, wenn
die Lösung vollständig sein soll ! "

11.04.2018, 15:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von rumar
genau damit habe ich mich ja schon in meinem ersten Beitrag im Detail beschäftigt, und wenn du meinen letzten Beitrag genau gelesen hättest, hättest du auch gemerkt, dass ich auch da nicht einfach die beiden Tage zur Auswahl stelle, sondern eine zusätzliche Untersuchung (eben z.B. durch die Betrachtung der Asymmetrie) erwarten würde.

Unterlass bitte diese "hätte gelesen"-Unterstellungen, ich hab den Beitrag gelesen. Und da hast du von "(komplexer gestaltete) Funktionen" geredet, so nach dem Motto: Nicht hier. Und

Zitat:

Original von rumar
Da t=8 aber exakt auf Mitternacht fällt, kommen eben wohl für die maximale Schneemenge der 8. oder der 9. Januar in Frage.

lässt natürlich offen, was in dem Fall passiert, wenn t nicht exakt auf Mitternacht fällt. Ich wollte eben nur klarstellen, dass auch dann Vorsicht geboten ist, weil das in deinen Ausführungen eben nicht deutlich geworden ist - so sehe ich das zumindest.

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Entscheidend ist doch, dass Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} s(t) \end{eqnarray*}$ hier unimodal ist in dem Sinne, dass sie bis zum Maximum monoton wachsend und danach monoton fallend ist. Damit muss man als Kandidaten für den maximalen Schneefalltag nur drei betrachten:

Den Tag, wo der Maximumzeitpunkt liegt sowie die beiden Nachbartage, andere kommen aufgrund der Monotonie nicht in Frage.

Hier ist dann der Sonderfall, dass der Maximumzeitpunkt auf Mitternacht fällt, sogar nützlich, weil da wirklich nur die beiden angrenzenden Tage zu betrachten sind, also auch insgesamt dann nur zwei.

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