R-Algebra

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Alex982 Auf diesen Beitrag antworten »
R-Algebra
Hallo,
wir haben in der Vorlesung eine R-Algebra definiert und ich habe diese anscheinend nicht verstanden.

Eine R-Algebra ist ein Paar , A ein Ring mit 1 und s.d


Ok, dann wurde als Beispiel genannt:
Jeder Ring A ist eine ,
Warum. Wie folgt das aus der Def. von R-Algebra?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Alex982,

zunächst mal kann man Elemente einer Gruppe (G,+) immer mit ganzen Zahlen multiplizieren: Beispielsweise

, und
.

Die allgemeinen Definitionen eben entsprechend, mit n bzw. -n anstelle von 7 bzw. (-6). Man kann nachprüfen, dass diese Verknüpfung assoziativ ist und auch die weiteren Punkte aus der Definition eines -Moduls erfüllt; daher kann man schon mal festhalten, dass jede abelsche Gruppe ein -Modul ist.

Wenn du nun irgendeinen unitären Ring (A,+,*) hast, so gibt es ja immer genau einen (kanonischen) Homomorphismus , nämlich den mit , falls n nichtnegativ ist, und . (Homomorphismen erhalten ja immer das Einselement!)
Dieser kanonische Homomorphismus erfüllt nun , also erfüllt das Paar die Definition einer -Algebra.

LG
sibelius84
 
 
Alex982 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sibelius84, dass du dich um dieses Thema kümmerst. smile

Also ich habe bei der R-Algebra verstanden, dass man zusätzlich zu den Eigenschaften eines unitären Ringes noch die Eigenschaft hat, dass man irgendwas aus einem Ring abbilden kann und mit einem Element multiplizieren kann oder andersrum. Das wäre doch der entscheidende Unterschied.

Das ist doch, das was in der letzten Zeile von dir gemacht wurde.

Trotzdem folgt, dasss nicht aus der Eigenschaft, dass wir einen Ringhomomorphismus haben?

Also
Oder ist der entscheinde Unterschied, dass man in einem " ganz anderen Ring " A abbildet?


Also zusammengefasst, warum fordert man dieses Eigenschaft
extra?
Ich hoffe du verstehst mich verwirrt
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine R-Algebra ist "ein R-Modul, in dem man zusätzlich auch noch multiplizieren kann". Dazu dient der Homomorphismus : Für setzt man .

Ringe und Algebren müssen ja im Allgemeinen nicht kommutativ sein; die geforderte Eigenschaft sichert aber, dass , also unter anderem, dass zumindest der Unterring kommutativ ist. (Falls injektiv ist, bedeutet dies insbesondere, dass schon R kommutativ ist.)

Wäre bloß ein Homomorphismus, so wäre nicht gewährleistet, dass die geforderte Eigenschaft gilt. Beispiel: . Der erfüllt zwar und , aber dennoch gilt i.A. für , schon allein deshalb, weil i.A. gilt ( injektiv und R nicht kommutativ).

Am besten für's Verständnis ist es eigentlich immer, Beispiele zu betrachten. Nun gibt es immer noch viele Ringe und Algebren, die kommutativ sind. Hier ist das Geforderte trivialerweise erfüllt, wir müssen also nicht-kommutative Algebren betrachten.
Das wohl wichtigste Beispiel ist, wenn wir einen kommutativen unitären Ring R haben, die Matrizenalgebra . Der Homomorphismus ist hier gegeben durch . Anders formuliert: Die äußere Multiplikation ist gegeben durch
.
Matrizen kommutieren im Allgemeinen nicht, aber diejenigen Matrizen, die im Bild des Homomorphismus liegen, sind genau die skalaren Vielfachen der n x n-Einheitsmatrix, liegen also im Zentrum von A, sprich: kommutieren mit allem. Und das ist genau das, was verlangt wird.
Alex982 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort. Das mit der Betrachtung von Beispielen ist ein guter Ansatz.
Das Problem ist, dass R-Algebren anscheinend auf Moduln beruhen. Diese jedoch haben wir noch gar nicht eingeführt. Naja es geht wsl auch ohne.
Diese zusärzliche Eigenschaft sichert ja, wie du schreibst . D.h alle Elemente des Ringes die unter phi abgebildet werden liegen in A. Aber was heißt das Z?
Ok dann zu dem Beispiel mit den Matrizen:
Du schreibst der Homomorphismus ist gegeben durch phi(r)=...
Meinst du einfach das man Elemente r aus einem Ring auf r mal die Einheitsmatrix abbildet mit der Eigenschaft, dass die Abbildung linear ist.

Danach schreibst du:
Matrizen kommutieren im Allgemeinen nicht, aber diejenigen Matrizen, die im Bild des Homomorphismus Õ liegen, sind genau die skalaren Vielfachen der n x n-Einheitsmatrix, liegen also im Zentrum von A

D.h wenn man eine Matrix B hat dann würde gelten:
r E_n B=B r E_n oder
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Modul ist ganz einfach ein "Vektorraum über einem Ring" (statt einem Körper). Moduln sind sogar exakt genauso definiert wie Vektorräume, nur dass statt einem Körper K eben ein Ring R zugrunde liegt. Es ist aber durchaus erschreckend, welche Vielfalt von Moduln es gibt, im Gegensatz zur Eintönigkeit der Vektorräume. Etwa erfüllen sowohl die Untergruppen sowie auch die nach ihnen gebildeten Faktorgruppen die Axiome eines -Moduls. Bei Vektorräumen () ist es undenkbar, dass der Vektorraum 'kleiner' ist als der zugrundeliegende Körper. Bei Moduln geht das!

Ist G eine Gruppe, so bezeichnet Z(G) (oder manchmal auch C(G), wegen 'centre', aus dem Englischen) die Menge aller derjenigen Elemente von G, die mit allen anderen Elementen kommutieren. Ist A ein Ring, so heißt das Ding eben Z(A) (bzw. C(A)). Das Zentrum einer Gruppe ist immer (abelsche) Untergruppe und sogar Normalteiler, das Zentrum eines Ringes ist ein (kommutativer) Unterring, das Zentrum eines Schiefkörpers ist ein Körper (für die Hamilton'schen Quaternionen gilt etwa ).

Ja, man bildet r auf r·E_n ab und Ja, es gilt stets (rE_n)·B=B·(rE_n). Für Matrizen besteht das Zentrum genau aus den skalaren Vielfachen r·E_n der n x n-Einheitsmatrix, und das war's. Selbst Diagonalmatrizen kommutieren zwar untereinander, aber nicht mit allen anderen Matrizen. Das erkennt man anhand von Beispielen wie

.

(Die Matrix von rechts anzumultiplizieren, bewirkt eine Vervielfachung der Spalten - wenn man sie von links anmultipliziert, bewirkt das eine Vervielfachung der Zeilen. Insbesondere besteht keine Kommutativität.)
Alex982 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha ok smile
Danke wieder für deine ausführliche Antwortsmile

Ich hätte noch ein paar Beispiele. Vllt für das bessere Verständnis:

1. R als R-Algebra mit

2. R[x] mit R Inklusionsabbildung R[x]

3. V als K-VR End(V) ist eine K- Algebra für



1. Das ist ja eine Algebra, da diese zusätzliche Vertauschungseigenschaft gilt, weil ja
und deshalb gilt :
2. Warum gilt es da?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

1.:
Da id injektiv ist, ist R selbst witzigerweise genau dann (mit phi=id) eine Algebra über sich selbst, wenn R kommutativ ist.

2.:
Ist (A,+,·) ein kommutativer Ring und (R,+,·) ein Unterring, so ist A mit der Inklusionsabbildung stets eine R-Algebra. Denn es gilt ja sogar , also gewiss sicher (da ja gilt). Nun beachte, dass R ein Unterring von R[x] ist, und dass R[x] genau dann kommutativ ist, wenn R kommutativ ist.
(Wenn R nicht kommutativ ist, gibt es ohnehin keine 'echten' Algebren über R, mit 'echt' meine ich: mit injektivem .)

auch noch kurz zu 3.: - das läuft genau analog zu dem Matrizenbeispiel von oben, denn ist dim V=n, so ist ja End_K(V) (als Ring, bzw. sogar als Algebra) isomorph zu K^{n x n} (lineare Abbildungen korrespondieren mit Matrizen, und umgekehrt).
Alex982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für die späte Antwort unglücklich
Also nochmal zu 1. R ist eine Algebra nur dann, wenn R kommuativ ist. Gut das ist jetzt klar smile
Zu 2.
Bei dem meinst du dann das Wenn das gilt, ist es auch klar.
R ist ein Unterring von R[x], denn die Summe von Polynomen ist in R als auch ein Vielfaches von einem Polynom.

Aber wie sieht man diese genau dann wenn Aussage.
R[x] ist doch ein Polynom in X mit den Koeffizienten aus R. Wenn R Unterring ist und R[x] kommutativ ist, dann überträgt es sich auf R. Aber wie funktioniert es andersrum ?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition im Polynomring ist - wie man die Multiplikation von Polynomen auch kennt - definiert durch:

Beispiel:
.

(Beachte, dass gilt, aufgrund des Grades 2 bzw. 3 der Polynome.)

Allgemein:


Die Addition ist immer kommutativ und aus der obigen Formel folgt, dass, wenn in R die Multiplikation auch noch kommutativ ist, dann auch die Multiplikation von Polynomen in R[X] kommutativ ist.
Alex982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sibelius 84,
ich habe nochmal eine Frage zu dem 3. Beispiel. Was wird da überhaupt mit der idemtität abgebildet. Es wird doch ein Körperelement abgebildet und dann?

3. V als K-VR End(V) ist eine K- Algebra für



Dann habe ich noch eine Frage:
Geg.: kommutativer Ring mit 1 und R-Algebra A. Dann gilt für alle s aus A, es ex genau ein Homorphismus von Algebren, welcher durch

Zum Beweis der Existenz. Definiert man
Zz: Ringhomo.
und g(r f)=rg(f). Warum das letzte. Das wäre doch die Eigenschaft eines Ringhomo.? geschockt
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