Nullraum-/Kerngleichung beweisen

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mathestudent97 Auf diesen Beitrag antworten »
Nullraum-/Kerngleichung beweisen
Meine Frage:
Es sei .
Beweisen Sie: N(B*B) = N(B) .

Meine Ideen:
Dabei ist mit N(B) der Nullraum beziehungsweise der Kern einer Matrix gemeint, welchen wir als Lösungsraum des lin. hom. GS der Matrix mit der 0 Matrix definiert haben.
* bedeutet bei uns "adjungiert", das heißt unsere Matrix wird sowohl transponiert als auch konjugiert (Imaginärer Teil wird - falls vorhanden - vom Vorzeichen her umgekehrt).
Leider habe ich noch keinen Ansatz gefunden.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

bei welcher Inklusionsrichtung hapert's denn?

Die Richtung "" dürfte trivial sein (für Bx=0 musst du beweisen, dass auch B*Bx=0).

Für die andere Richtung "" muss man wahrscheinlich etwas tricksen: Am besten zeigt man zunächst rang(B)=rang(B*B) (oder du darfst das im günstigen Fall sogar benutzen, weil es in der VL gezeigt wurde? Augenzwinkern ), folgert daraus mit der Dimensionsformel dim Kern(B)=dim Kern(B*B) und argumentiert dann mit "".

LG
sibelius84
 
 
mathestudent97 Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Richtung ist tatsächlich trivial. Die zweite Richtung macht mir nur leider Schwierigkeiten. rang(B) = rang(B*B) hatten wir bereits in der Vorlesung, dieser Tipp hilft mir weiter und ich verstehe auch, wie du daraus folgerst, dass dim ker(B)= dim ker(B*B) ist, jedoch verstehe ich leider nicht, wie ich daraus folgern soll, dass N(B*B) eine Teilmenge von N(B) ist.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, super! Nun wähle dir einfach eine Basis von N(B) (wobei also r:=dim(N(B)) ). Wegen der schon gezeigten, trivialen Richtung ist diese auch eine Teilmenge von N(B*B), und zwar wieder eine linear unabhängige. Sie besteht aus r Elementen. Nun beachte, dass du die Dimension von N(B*B) kennst. Was folgt daraus...?
mathestudent97 Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaaah, jetzt macht es klick, danke! Daraus folgt natürlich, dass (b1, ... , br) auch die Basis für N(B*B) sein muss und somit ist logischerweise auch der Kern gleich. Dankeschön!
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