Geometrie: Tetraeder

12.04.2018, 11:19	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrie: Tetraeder Hallo zusammen Folgendes sei gegeben: $\begin{eqnarray} n \in \mathbb S_2 \end{eqnarray}$ : Einheitsvektor $\begin{eqnarray} n_i > 0 \end{eqnarray}$ für i = 1, 2, 3. Wie würdet ihr eine Folge von Tetraedern $\begin{eqnarray} V^l \end{eqnarray}$ konstruieren, so dass: - die eine Seite $\begin{eqnarray} S^l \end{eqnarray}$ orthogonal zu n steht - $\begin{eqnarray} \| S^l \| \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ (d.h. die Fläche der Seite S^l geht gegen 0 für l gegen unendlich) - $\begin{eqnarray} \frac{\|V^l\|}{\|S^l\|} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für l gegen unendlich ( \| V^l \| ist das Volumen von V^l) - für den Normalenvektor $\begin{eqnarray} n_1^{(l)} \end{eqnarray}$ zur Seite $\begin{eqnarray} S_1 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} n_1^{(l)} \rightarrow n \end{eqnarray}$ für l gegen unendlich. Danke für jede Idee!
12.04.2018, 11:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrie: Tetraeder Ziemlich lückenhaft deine Beschreibung: Es ist anzunehmen, dass $\begin{eqnarray} S_1^{(l)} \end{eqnarray}$ eine andere Seitenfläche als $\begin{eqnarray} S^l \end{eqnarray}$ sein soll? Denn ansonsten wäre ja $\begin{eqnarray} n_1^{(l)}\to n \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} n_1^{(l)}=n \end{eqnarray}$ ja automatisch erfüllt. Ich sehe da kein Problem in der Konstruktion, möglich wäre z.B. folgendes: Du gehst bspw. von einem regulären Tetraeder $\begin{eqnarray} V_1 \end{eqnarray}$ aus, mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ der Seite $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ sowie Vektor $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ zur Tetraederspize. Davon ausgehend konstruierst du jetzt die Tetraderfolge so: 1) Der Grundseitenmittelpunkt $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ bleibt stets derselbe. 2) Die drei Eckpunkte der Grundseite $\begin{eqnarray} S^l \end{eqnarray}$ ergeben sich aus denen von $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ durch zentrische Streckung mit Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{l} \end{eqnarray}$ . 3) Die Tetraederspitze von $\begin{eqnarray} V^l \end{eqnarray}$ liegt $\begin{eqnarray} \frac{1}{l^2}n \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , d.h. schrumpft schneller als die Grundseite. Damit liegen mit zunehmenden $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ die Seitenflächen in immer flacherem Winkel zur Grundseite, womit die geforderte Normalenvektorkonvergenz erfüllt ist. Die Flächen- und Volumenbedingung sind eh kein Problem.
13.04.2018, 11:25	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrie: Tetraeder Hallo HAL 9000 Vielen Dank für deine Hinweise, die mir sehr geholfen haben. Und natürlich, du hattest recht: Es handelte sich hierbei um verschiedene Seitenflächen.

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