Darstellung einer Matrix A = BC beweisen

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mathestudent97 Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellung einer Matrix A = BC beweisen
Meine Frage:
Seien K ein Körper und p, q, r ein Körper derart, dass .

Zeigen Sie, dass jede Matrix mit rang(A) = r
eine Darstellung A = BC mit einer gewissen spaltenregulären Matrix und einer gewissen zeilenregulären Matrix gestattet.

Meine Ideen:
Aus rang(A) = r und folgt, dass die Matrix A keinen vollen Rang hat, das heißt, dass entweder Spalten oder Zeilen der Matrix linear voneinander abhängig sind und ich die Matrix durch elementare Umformungen so verändern kann, dass entweder eine Nullzeile oder Nullspalte entsteht. Dass ich jede Matrix durch zwei andere Matrizen darstellen kann, ist mir klar. Ich verstehe nur nicht ganz, wie ich beweisen soll, dass ich die Matrix A gerade durch eine spaltenregüläre und eine zeilenreguläre Matrix zusammen setzen muss.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst eine Korrektur:

Zitat:
Seien K ein Körper und p, q, r natürliche Zahlen derart, dass .


Zitat:
Original von mathestudent97
Aus rang(A) = r und folgt, dass die Matrix A keinen vollen Rang hat

Vorsicht, da steht nicht < sondern <. im Fall hat die Matrix sehr wohl vollen Rang, und ist zudem noch , ist sie dann sogar invertierbar. unglücklich

Versuche, so lange wie möglich allgemein zu argumentieren, statt dich gleich in solche Sonderfälle zu verzetteln, das bringt nichts gutes.

Geh am besten von der Rangdefinition aus: Der Rang gibt an, welche Dimension der von den Zeilenvektoren der Matrix aufgespannte Unterraum von hat, bzw. auch welche Dimension der von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannte Unterraum von hat.
 
 
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