Distributiven Operator für Menge aus Bijektionen (und ihren Kompositionen) konstruieren |
| 12.04.2018, 21:25 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Distributiven Operator für Menge aus Bijektionen (und ihren Kompositionen) konstruieren Gegeben ist eine Menge von Bijektionen f,g,h (und ihren Kompositionen). Es handelt sich um Abbildungen, wobei jede Abbildung ein Wort bestehend aus N Zeichen auf ein gleichlanges Wort abbildet. Das Alphabet ist {a,b} also zweibuchstabig (ein Leerzeichen "e" gilt als neutrales Element). Die Menge der Bijektionen zusammen mit der Komposition * und der Identitätsabbildung bilden einen Monoid. Gesucht ist ein weiterer Operator +, der kommutativ ist und die Distributivität erfüllt: f+(g*h)=(f+g) * (f+h) Wie kann man einen solchen Operator konstruieren bzw. was sind die Voraussetzungen dafür? Meine Ideen: Der Operator kann beliebig gewählt werden, z.B. Permutation der Wörter, zeichenweises "Addieren" (a+b=a, b+a=a, a+a=b, b+b=a) oder Ähnliches. |
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| 13.04.2018, 12:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mir fallen nur die "langweiligen Additionen" ein, die (f+g)(x...x)=a...a oder (f+g)(x...x)=b...b oder andere feste Wörter der Länge von x...x zuordnen. Diese Additionen tun jedenfalls, was sie tun sollen. Allerdings fehlt mir noch der Beweis, dass es nicht noch andere kommutative distributive Additionen gibt. Nachtrag: Dumm ist nur, dass die langweiligen Summen f+g keine Bijektionen sind. |
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| 14.04.2018, 14:11 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi Elvis, Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe es mal mit der einfachen zeichenweisen Addition (a+b=b+a=b; a+a=b+b=a) probiert und es klappt leider nicht, wenn bspw. f(abaaabaaaaaa) = abbabbaaaaaa g(abaaabaaaaaa) = bbaaaaababab h(abaaabaaaaaa) = aaababbababa f*g(abaaabaaaaaa)+f*h(abaaabaaaaaa)=aaabbbaabaab f*(g(abaaabaaaaaa)+h(abaaabaaaaaa))=baabbbababab Die Bijektionen f,g,h (und deren Kompositionen via *) sind recht abstrakt (dahinter verbirgt sich ein Automat). Deswegen kann der Operator + durchaus komplexer sein, z.B. sowas wie zeichenweises Addieren und dann eine Permutation finden usw... Muss denn der Operation + bijektiv sein, um bspw. einen Ring zu bekommen (ich dachte Kommutativität und Distributivität genügt). Vielen Dank und beste Grüße |
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| 14.04.2018, 14:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Operation + muss nicht bijektiv sein, aber ich dachte, dass die entstehenden Funktionen f+g ebenso wie die Funktionen f und g wieder bijektiv sein sollten. Und genau das trifft für meine langweilige Addition leider nicht zu. |
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| 14.04.2018, 14:36 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » |
vielen Dank - dann haben wir ja mehr Freiraum (bzw. ich hoffe das vereinfacht es ein wenig). Nun ist die Frage, wie man einen solchen Operator baut und was es da für Möglichkeiten gibt. Ziel ist es, einen Ring zu konstruieren mit den Elementen der Bijektionen (Identitätsabbildung als neutrales Element), der Komposition * und einer "Addition". Besten Dank und viele Grüße! |
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