Konvergenzrate bestimmen

13.04.2018, 10:28

LuciaSera

Konvergenzrate bestimmen

Meine Aufgabe:
Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert und die Konvergenzrate der Folge $\begin{eqnarray*} (r_{k}) \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} a) r_{k}=1+\frac{1}{2^{k}} b) r_{k}=1+\frac{1}{k!} c) r_{k}=1+\frac{1}{2^{2^{k}}} \end{eqnarray*}$

a)
Also zuerst habe ich mir eben die Folgengleider angeschaut. Für k=0,1,2,... und komme zu meiner Vermutung, dass der Grenzwert 1 ist, weil ja der zweite Summand, welcher von k abhängt, gegen 0 geht.

Jetzt habe ich aber ein kleines Problem bei der Bestimmung der Konvergenzrate bzw. bei der Interpretation meiner Ergebnisse sofern diese stimmen.

$\begin{eqnarray*} \frac{|r_{k+1}-r|}{|r_{k}-r|^{p}}=\frac{|1+\frac{1}{2^{k+1}}-1|}{|1+\frac{1}{2^{k}}-1|^{p}}=\frac{\frac{1}{2^{k+1}}}{\frac{1}{(2^{k})^{p}}}=\frac{(2^{k})^{p}}{2^{k+1}}=\frac{(2^{k})^{p-1}(2^{k})}{2^{k}2}=\frac{(2^{k})^{p-1}}{2}=\frac{(2*2^{k-1})^{p-1}}{2}=\frac{2^{p-1}}{(2^{k-1})^{p-1}}=\frac{2*2^{p-2}(2^{k-1})^{p-1}}{2}=2^{p-2}(2^{k-1})^{p-1}=2^{p-2}\frac{1}{(2^{k-1})^{1-p}} \end{eqnarray*}$

Daraus folgere ich nun:
$\begin{eqnarray*} I: k \to \infty; p=1 \Rightarrow c=\frac{1}{2} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ lineare Konvergenz
$\begin{eqnarray*} II: k \to \infty; p<1 \Rightarrow c=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ superlineare Konvergenz
$\begin{eqnarray*} III: k \to \infty; p>1 \Rightarrow c=\infty \Rightarrow \end{eqnarray*}$ keine Konvergenz

Stimmt das so? Wenn ja, dann sind die anderen aufgaben auch ziemlich klar.

13.04.2018, 11:08

HAL 9000

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Du folgerst also, dass alle drei Eigenschaften "lineare Konvergenz, superlineare Konvergenz und keine Konvergenz" hier zugleich zutreffen? Absurd.

Nehmen wir es mal einzeln unter die Lupe:

Zitat:

Original von LuciaSera
$\begin{eqnarray*} I: k \to \infty; p=1 \Rightarrow c=\frac{1}{2} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ lineare Konvergenz

Richtig, es liegt lineare Konvergenz mit Konvergenzrate $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{2} < 1 \end{eqnarray*}$ vor.

Zitat:

Original von LuciaSera
$\begin{eqnarray*} II: k \to \infty; p<1 \Rightarrow c=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ superlineare Konvergenz

Verstehe nicht, was die Betrachtung des Falls p<1 überhaupt bringen soll. Mit superlinearer Konvergenz hat das m.W. nichts zu tun, deswegen stimmt deine Schlussfolgerung auch nicht.

Zitat:

Original von LuciaSera
$\begin{eqnarray*} III: k \to \infty; p>1 \Rightarrow c=\infty \Rightarrow \end{eqnarray*}$ keine Konvergenz

Ebenfalls die falsche Schlussfolgerung: Das Ergebnis der Rechnung $\begin{eqnarray*} c=\infty \end{eqnarray*}$ ist so zu interpretieren, dass hier keine Konvergenz zu einer Ordnung $\begin{eqnarray*} p>1 \end{eqnarray*}$ vorliegt.

Auch diese Rechnung hättest du hier aber sparen können: Da die Konvergenzrate $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oben bei der Rechnung der linearen Konvergenz echt positiv war (also nicht nur c=0), kam eine Konvergenzordnung >1 eh nicht in Frage.

13.04.2018, 11:23

LuciaSera

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Heißt das also, dass sobald ich eine Konvergenzrate gefunden habe, ich keine weitere mehr suchen muss?

Ich dachte, dass ich nun zwar eine Konvergenzrate für p=1 gefunden habe, aber woher weiß ich nun, ob meine Folge nicht besser als "nur" linear konvergiert? Daher dachte ich, dass ich noch die beiden anderen Fälle betrachten müsste. verwirrt

13.04.2018, 11:34

HAL 9000

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Zuerst die lineare Konvergenz überprüfen: Vorausgesetzt, der Grenzwert $\begin{eqnarray*} c=\lim_{k\to\infty} \frac{|r_{k+1}-r|}{|r_k-r|} \end{eqnarray*}$ existiert überhaupt, gibt es folgende Fälle

a) $\begin{eqnarray*} c>1 \end{eqnarray*}$ : Keine Konvergenz gegen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

b) $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ : Unklar, ob überhaupt Konvergenz gegen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ vorliegt. Falls ja, dann jedenfalls nur sublinear.

c) $\begin{eqnarray*} 0<c<1 \end{eqnarray*}$ : Lineare Konvergenz, und es geht auch nicht besser.

d) $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ : Superlineare Konvergenz. Hier und nur hier lohnt sich die Untersuchung, ob nicht auch noch eine höhere Konvergenzordnung $\begin{eqnarray*} p>1 \end{eqnarray*}$ vorliegt. Notwendig dazu ist, dass $\begin{eqnarray*} \frac{|r_{k+1}-r|}{|r_k-r|^p} \end{eqnarray*}$ beschränkt bleibt, z.B. der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ (als endlicher Wert) existiert.

Außen vor bei dieser (einfachen) Auflistung ist der Fall, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gar nicht existiert. Auch dort kann noch alles mögliche passieren. Augenzwinkern

13.04.2018, 12:03

LuciaSera

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Nun wird mir einiges klarer! Danke für diese super Erklärung!

Ich habe es gleich versucht am nächsten Beispiel anzuwenden:

b)

Also ich habe mir wieder die Folgenglieder angesehen und komme wieder auf meinen vermuteten Grenzwert 1, da k! immer größer und somit der Kehrwert davon 0 wird.

$\begin{eqnarray*} \frac{|1+\frac{1}{(k+1)!}-1|}{|1+\frac{1}{(k!)}-1|^{p}}=\frac{\frac{1}{(k+1)!}}{\frac{1}{(k!)^{p}}}=\frac{(k!)^{p}}{(k+1)!}=\frac{(k!)^{p-1}(k!)}{(k+1)k!}=\frac{(k!)^{p-1}}{(k+1)}=(k!)^{p-1}\frac{1}{(k+1)} \end{eqnarray*}$

Nun prüfe ich zuerst lineare Konvergenz für $\begin{eqnarray*} p=1 \end{eqnarray*}$ :
Für $\begin{eqnarray*} k \to \infty \Rightarrow c=0 \end{eqnarray*}$ .

Das heißt doch nun, dass superlineare Konvergenz vorliegt und ich nun auch $\begin{eqnarray*} p>1 \end{eqnarray*}$ untersuchen muss, wenn ich das richtig verstanden habe, also:
Für $\begin{eqnarray*} k \to \infty \Rightarrow c=0 \end{eqnarray*}$ . (bin mir gerade nicht zu 100% sicher, da ja k! viel viel schneller gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht, als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k+1)} \end{eqnarray*}$ gegen 0.)

Falls c=0 für p>1 ist: Heißt das nun einfach nur, dass es höhere Konvergenzordnungen gibt als p=1 oder kann ich genauere Aussagen darüber treffen?

Falls $\begin{eqnarray*} c=\infty \end{eqnarray*}$ für p>1 ist: Da notwendig ist, dass der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ existiert, ist diese Aussage ja dann sozusagen hinfällig oder? Die Folge bleibt aber trotzdem superlinear für p=1 oder?

13.04.2018, 12:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von LuciaSera
Das heißt doch nun, dass superlineare Konvergenz vorliegt

Das stimmt erstmal soweit.

Zitat:

Original von LuciaSera
$\begin{eqnarray*} p>1 \end{eqnarray*}$ [...] Für $\begin{eqnarray*} k \to \infty \Rightarrow c=0 \end{eqnarray*}$ . (bin mir gerade nicht zu 100% sicher, da ja k! viel viel schneller gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht

"Nicht zu 100%" ist gut, denn es ist falsch:

Es gilt z.B. die Abschätzung $\begin{eqnarray*} k! \geq \left(\frac{k}{e} \right)^k \end{eqnarray*}$ , aus der folgt dann für alle $\begin{eqnarray*} k\geq \max\left\{\frac{2}{p-1},3\right\} \end{eqnarray*}$ die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} k!^{p-1} \geq \left(\frac{k}{e} \right)^{k(p-1)} \geq \left(\frac{k}{e} \right)^2 \end{eqnarray*}$ ,

woraus man unmittelbar auf $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} (k!)^{p-1} \frac{1}{k+1} = \infty \end{eqnarray*}$ schließen kann.

D.h., die Konvergenz ist zwar superlinear, es liegt aber dennoch keine Konvergenzordnung >1 vor. unglücklich

13.04.2018, 13:07

LuciaSera

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Sprich die Konvergenzordnung bleibt p=1 mit superlinearer Konvergenz?

Und das letzte Beispiel:

c)
Wieder Grenzwert 1. Und weiters:

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{\frac{1}{2^{(2^{k+1})}}}{\frac{1}{(2^{(2^{k})})^{p}}}=\frac{(2^{(2^{k})})^{p}}{2^{(2^{k+1})}}=2^{(2^{k})p-2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Für p=1 folgt c=0. Also untersuche ich wieder p>1:

$\begin{eqnarray*} p=2: 2^{(2^{k})2-2^{k+1}}=2^{(2^{k+1})-2^{k+1}}=2^{0}=1 p>2: 2^{(2^{k})3-2^{k+1}}=2^{(2^{k})(3-2)}=2^{k}= \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ meine Folge konvergiert superlinear mit Konvergenzrate c=1 und Konvergenzordnung p=2 oder?

13.04.2018, 13:59

HAL 9000

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Konvergenzordnung 2 ist korrekt. Freude

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