Newtonsche Interpolationsformel

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dubbox Auf diesen Beitrag antworten »
Newtonsche Interpolationsformel
Meine Frage:
Leider lag ich passend zum Unibeginn im Krankenhaus und muss mir die Aufgaben selbst anhand unseres Skripts erläutern.

Gegeben sei die Funktion


und die Stützstellen

(a) Berechnen sie das Newtonsche Interpolationspolynom mit Hilfe der dividierten Differenzen.
(b) Geben Sie eine obere Schranke für den Abstand von und dem Interpolationspolynom an.
(c) Um welchen Faktor verbessert sich die Schranke, wenn die Stützstellen hinzugefügt werden?

Meine Ideen:
Die (a) verstehe ich und habe ich wie folgt bearbeitet:

Ich benutzte hierfür eine Technik aus dem Skript.
Zuerst ermittele ich die benötigten Werte






Jetzt rechne ich














damit ist letztendlich


Jetzt ist






Und das Newtonsche Interpolationspolynom






Für (b) und (c) habe ich noch keine Idee, denke zu (b) gibt es einen Satz?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dubbox

Spät schlägt er zu, der Vorzeichenteufel, aber er tut es:

Richtig ist hier und damit per Folgefehlerkorrektur .

----------------------------------------------------------------------------

Ist nicht nach der in a) vorgeschriebenen Methode, aber zur (schnellen) Vergleichsprobe allemal tauglich:

Die Stützstellen liegen punktsymmetrisch zum Punkt (1,0), daher ist das "um eins verschobene" Interpolationspolynom bzgl. ungerade und damit nur vom Grad 3. Das trifft dann genauso auf das Originalpolynom zu. Da wir bereits drei Nullstellen kennen, greift sofort Ansatz , und über Bedingung bekommt man heraus, das bedeutet

.
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal! Ich habe deine Korrektur oben erstmal eingefügt und gehe dann mal zur b)

**ACHTUNG das folgende ist erstmal Irrelevant, waren erste Gedanken, eigentliche Lösung beginnt bei **LÖSUNGSVERSUCH

Da die Funktion und somit das Polynom (?) nur auf definiert ist, sind sie beschränkt und zwar:

Die Funktion ist durch die Natur des Sinus durch, wie auch bereits in der Aufgabenstellung bemerkt auf beschränkt.

Für das Polynom gilt das nicht. Wir unterscheiden in 5 Fälle:

1. Fall


2. Fall


3. Fall


Wendepunkte der Funktion sind
also sind die letzten beiden relevanten Fälle

4. Fall


4. Fall


Jetzt kam ich nicht weiter und dann ist mir aufgefallen das das natürlich nicht Sinn der Sache sein kann Big Laugh also habe ich bisschen gesucht und bin auf die Fehlerabschätzungen gekommen -.-
lasse das oben mal stehen evntl ist es ja noch hilfreich Big Laugh

**LÖSUNGSVERSUCH
(b)
Anscheinend ist also die Fehlerabschätzung wie folgt zu berechnen



Wenn ich es richtig Verstanden habe beschreibt die Anzahl meiner Stützwerte, somit

Also erstmal die 5te Ableitung bestimmen:






Daraus folgt


Da ich konsequent mit auf Kriegsfuß stehe, müsste mir jemand sagen ob ich so berechnen darf, hinsichtlich Begründungen.

Gedanke wäre
Da und (muss ich das hier mathematisch begründen oder reicht dessen Offensichtlichkeit? Big Laugh )




Die obere Schranke für den Abstand von und dem Interpolationspolynom beträgt .

Die (c) in Kurzfassung wäre

Bei 4 neuen Stützwerten erhöht sich um 4 somit gilt



Somit verbessert sich die Schranke um einen Wert von .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Fehlerschranke in dieser barbarischen Größe ist absolut unbrauchbar: unglücklich



Ich kenne die Abschätzung auch anders: Sei das Intervall, in dem die Stützstellen liegen. Für jedes gibt es dann ein mit

.

Darauf aufbauend kann man also für abschätzen

.

Und gerade letzteres Maximum kann man erheblich besser nach oben abschätzen als durch dieses arg grobe . unglücklich
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

Ohjee, da blättert man mal 4-5 Seiten weiter im Skript und dann steht da benutzte die genauere Methode mit Tschebyschev-Abszissen Hammer Hammer

Okay also, das ist nochmal etwas anders als das von dir vorgeschlagene, das von dir vorgeschlagene kam jedoch davor auch noch mal im Skript dran.

Anscheinend gilt, wegen diverser Dinge die ich hier jetzt nicht alle auflisten möchte, Stichwort Tschebyschev-Abszissen Big Laugh



Mit den oben bereits errechneten Werten entsteht daraus also






Somit wäre (b) erledigt.

Für (c) gilt dann (wieder kurzform)



Der Wert verbessert sich also um .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sowas wie Tschebyschev-Abszissen kenne ich nicht - ich sehe aber, dass deine Rechnung definitiv falsch sein muss, denn nun ist der von dir berechnete Fehler viel zu klein ... von einem Extrem ins andere.


Hier mal ein Plot der Abweichung :



D.h., jede berechnete obere Schranke, die kleiner ist als ca. 0.17 muss falsch sein. unglücklich
 
 
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eh grade einen Grundlegenden Fehler erkannt, ich habe natürlich 5 Stützwerte somit wäre das ganze also mit der 6ten Ableitung zu lösen und weiterhin hatte ich unten ganz vergessen aus dem max betragt zu nehmen. Deswegen sind die Ergebnisse auch viel zu klein, komme aber auch mit dem richtigen Rechenweg auf zu kleine Ergebnisse



Ich rechne jetzt erstmal mit dem regulärem Weg, der auch von dir genannt wurde





Jetzt wüsste ich aber nicht wie ich den rechten Faktor bestimmen sollte, tatsächlich haben wir auch kein Beispiel im Skript, in dem benutzt wird, nur die sehr grobe Methode oder eben die Geschichte mit den Abszissen.


Laut Skript (Tschebyschev-Abszissen) soll
gelten. Wobei das dann der minimale Wert für sein soll. Wobei ich den Ausdruck minimaler Wert eines Maximus nicht verstehe.

Anscheinend sind hier dann aber auch andere Stützstellen und zwar
welche dann eben diesen minimalen Wert liefern würden. D.h. wenn ich es richtig verstehe mit dieser Wahl an Stützstellen würde man das "genauste" Polynom bekommen und so die minimale Fehlerabschätzung?

Das wäre dann aber schon wie von dir beschrieben, nicht die Fehlerabschätzung zu dem Interpolationspolynom aus (a), da andere Stützstellen ein anderes Polynom bedeuten würden?

Wäre es wohl möglich das eben die zwar unbrauchbaren Werte trotzdem die Lösung der Aufgabe sind? Im Prinzip soll man ja den Abstand nach oben Abschätzten was man hier auch tut.

Die Antworten wären dann mit (b)

mit (c)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Stützpunktanzahl ist schon :

sind doch Werte!

Also ist in deinem Beispiel n=4 statt n=5. Nicht die Dinge über den Haufen werfen, die stimmen. unglücklich



Bleiben wir mal bei deinen Stützstellen: Da ist



mit , d.h. hier wurde wieder (s.o.) Verschiebung durchgeführt.

Eine Extremwertuntersuchung von ergibt lokale Extremwerte bei ...
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, das passiert wenn man verzweifelt nach Fehlern sucht...

Also
Die Antworten wären dann mit (b)

mit (c)


Ich werde mal nächste Woche in der Übung ansprechen ob das die gesuchte Lösung ist, gehe aber mal davon aus.

Wie wäre denn die Methode um die genauere Abschätzung zu berechnen, oder wäre das wesentlich komplexer?

Ah sehe grade du hast das schon beantwortet! Zwar keinen blassen schimmer wie du soetwas so schnell hinbekommst, aber danke! Dann frage ich einfach nach, im Prinzip habe ich dann auch ja schon alles um zur Not noch die genauere Abschätzung zu machen danke!
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