Inneres eines Dreieckes, Euklid

13.04.2018, 17:36

Masso23

Inneres eines Dreieckes, Euklid

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe hier eine Aufgabe von meiner Hochschule und weiß nicht so genau wie ich die Aufgabe angehen soll... kann mir da jemand vllt helfen ?

Meine Ideen:
Zu a) Ich soll ja die Definition mit der Halbebene definieren. Wie soll ich das tun?

13.04.2018, 19:18

Elvis

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Das Innere eines Dreiecks ist ebenso wie das Innere eines Winkels der Durchschnitt von Halbebenen. Die Details kannst du dir am besten anhand einer Skizze klarmachen.

14.04.2018, 00:21

Masso23

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Hallo und danke für die Antwort. Okay und wie kann ich das mathematisch richtig formulieren?

14.04.2018, 10:58

Elvis

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Aus $\begin{eqnarray*} meiner \end{eqnarray*}$ Skizze , bei der sich die Geraden SQ und SR im Punkt S schneiden, wobei der Punkt S links und der Punkt Q über dem Punkt R liegt, entnehme ich, dass der Winkel QSR der Durchschnitt der rechten Halbebene unter SQ (senkrechte Schraffur) und der linken Halbebene über SR (waagerechte Schraffur) ist. Begriffe wie links, rechts, oben, unten sind natürlich von der Lage und Orientierung der Geraden abhängig und diese sind von der Lage der Punkte abhängig.

14.04.2018, 12:01

Masso23

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Also danke für die Skizze aber ich komme nicht so mit. Zuerst einmal ist hier die Definition von halbebenen.

Wobei wir sagen:

Blickt von P nach Q, betrachtet man also die halbgerade $\begin{eqnarray*} \vec{PQ} \end{eqnarray*}$ so liegt einer der beiden Halbebenen von der Gerade PQ rechts von $\begin{eqnarray*} \vec{PQ} \end{eqnarray*}$ und die andere links von $\begin{eqnarray*} \vec{PQ} \end{eqnarray*}$ .

Dazu habe ich mir auch eine Skizze gemacht ist leicht verständlich. Von PQ aus betrachtet liegt die rote Ebene linls von PQ und die Blaue rechts von PQ.

Nun muss ich ja das innere von einem Dreieck mit der Definition definieren. Ich habe mich im Internet etwas schlau gemacht und habe schon eine Definition gefunden leider bringt mir diese nicht viel. Sowie du schon sagtest Elvis es ist der Durschnitt aller Halbebenen ( siehe Bild).

In diesee Definition ist mir allerdings nicht klar von welcher Halbebene geredet wird wenn man ABC^+ schreibt.
Um das besser zu verstehen habe ich mir eine Skizze zu der Halbebene ABC angefertigt. Ist diese richtig? Dann wäre ja rot die linke halbebene... wenn das stimmt was ist dann die linke und rechte halbebene von BCA?
Ich vernute das mit ABC^+ die linke Halbebene von ABC gemeint ist.

14.04.2018, 12:09

Elvis

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Im Dreieck ist es einfach so, dass du die Orientierung AB,BC,CA nimmst, dann ist das Innere des Dreiecks der Durchschnitt der drei linken Halbebenen.

14.04.2018, 12:30

Masso23

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Okay ich verstehe. Sorry für die unschönen Skizzen.. Hammer

Ich würde es dann selbst so definieren:

Definition (Das innere eines Dreiecks mit hilfe von Halbebene):
Sei ein Dreieck ABC gegeben. Dann ist das innere vom Dreieck gegeben durch den durschnitt der linken halbebenen der geraden AB, BC und CA. Bennen wir die linken Halbebenen von den geraden Mit H1,H2 und H3. So gilt: I(ABC):= H1 n H2 n H3 .

Findest du diese Definition Mathematisch richtig ? Und wie soll ich dann die inneren winkel definieren?

14.04.2018, 12:57

Elvis

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Die Definition ist so nicht richtig. Es gibt für ein Dreieck 2 verschiedene Orientierungen. ABC linksherum und ABC rechtsherum. Nach deiner Skizze ist das Innere von ABC der Durchschnitt der durch die orientierten Geraden AB,BC,CA festgelegten linken Halbebenen. Für ein rechtsherum orientiertes Dreieck ist das Innere der Durchschnitt der durch die orientierten Geraden AB,BC,CA festgelegten rechten Halbebenen. In der Schule übt man meistens, Dreiecke linksherum zu orientieren, wobei A der linke untere Eckpunkt ist, das ist aber eine willkürliche Festlegung.

Genau so musst du unterscheiden, wo der Scheitelpunkt eines Winkels sitzt (es ist üblich, den mittleren Punkt Y als Scheitel des Winkels XYZ zu benennen) und ob der Winkel rechtsherum oder linksherum orientiert ist oder ob die Geraden (so wie ich es gemacht habe) vom Scheitel des Winkels aus orientiert sind.

14.04.2018, 13:20

Masso23

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Ich verstehe die unterscheidungen. Also theoretisch gesehen ist es ja egal ob ich die Definition dann rechts orientiert oder links orientiert definiere. Beides ist ja äquivalent. Ich halte mich mal jetzt an die rechts orientierung.

Ich habe mal in einer Skizze für die Gerade AB die 2 ebenen gemalt.
Links der gerade AB ist die Blaue ebene und rechts der gerade AB ist die rote ebene.
Und so ist es auch in den geraden BC und CA also müsste ich doch von den linken halbebenen den durschnitt nehmen? Denn der durschnitt der rechten ebenen wäre ja disjunkt..

14.04.2018, 14:13

Elvis

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Genau so ist es. Ich wollte dir nur klarmachen, dass es jeweils auf das konkrete Dreieck bzw. den konkreten Winkel ankommt, ob man von linken oder rechten Halbebenen spricht. Hier ist das Innere von ABC z.B. auch der Durchschnitt der linken Halbebene von AB, der rechten Halbebene von CB und der rechten Halbebene von AC. Was immer gleich bleibt: Das Innere eines Winkels ist der Durchschnitt von zwei Halbebenen, das Innere eines Dreiecks ist der Durchschnitt von drei Halbebenen.

14.04.2018, 14:25

Masso23

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Achso jetzt verstehe ich das Problemeiner Definition! Das Problem ist ich kann nicht einfach sagen das wir den durschnitt der linken halbebenen nehmen, denn ob die halbebenen links oder rechts ist kommt auf das Dreieck an!
Also müsste ich meine Definition wienfolgt verändern.

Definition (Das innere eines Dreiecks mit hilfe von Halbebene):
Sei ein Dreieck ABC gegeben. Dann ist das innere vom Dreieck gegeben durch den durschnitt von DREI halbebenen. Bennen wir die Halbebenen von den geraden Mit H1,H2 und H3. So gilt: I(ABC):= H1 n H2 n H3 .

So sollte es doch passen oder ?

„Hier ist das Innere von ABC z.B. auch der Durchschnitt der linken Halbebene von AB, der rechten Halbebene von CB und der rechten Halbebene von AC. „

Das ist auch sehr interessant. Damit willst du mir wohl sagen das man das innere auch aus verschiedenen Orientierungen bestimmen kann daher die änderung in meiner Definition. Echt interessant geschockt

14.04.2018, 15:29

Masso23

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Ich glaube in der Definition sollte ich auch sagen das A,B und C nicht Kollinear sind.

14.04.2018, 18:26

Masso23

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Zu b)

i) Ich würde sagen das i stimmt, denn ein Strahl ist eine Gerade mit einem Anfangspunkt und geht bis ins unendlicje.
Das bedeutet AB ( mit strich) ist der Strahl Der im punkt A anfängt und irgendwo B trifft. Und A‘B‘(strich) ist der Strahl der bei A‘ anfängt und irgendwo B‘ trifft. Da AB(strich)= A‘B‘( strich) ist muss A= A‘ sein aber es muss nicht unbedingt B‘=B sein.

ii) Ich würde sagen das, dass auch stimmt, denn wenn AB=A‘B‘ ist bedeutet das, dass die beiden strecken gleich sind also das A=A‘ ist und B=B‘ und zwischen zwei Punkten kann es nur eine eindeutige Gerade geben.

Was sagt ihr zu dieser Argumentation?

14.04.2018, 18:53

Huggy

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Zitat:

Original von Elvis
Genau so ist es. Ich wollte dir nur klarmachen, dass es jeweils auf das konkrete Dreieck bzw. den konkreten Winkel ankommt, ob man von linken oder rechten Halbebenen spricht.

Mir erscheint es unpraktisch von linken und rechten Halbebenen zu sprechen.

Es sei $\begin{eqnarray*} g_{AB} \end{eqnarray*}$ die durch die Punkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ definierte Gerade. Wenn man nun einen Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ hat, der nicht auf dieser Geraden liegt, dann kann man z. B. mit $\begin{eqnarray*} H_{ABC^+} \end{eqnarray*}$ diejenige durch $\begin{eqnarray*} g_{AB} \end{eqnarray*}$ definierte Halbebene bezeichnen, in der der Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ liegt und mit $\begin{eqnarray*} H_{ABC^-} \end{eqnarray*}$ diejenige, in der der Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nicht liegt. Mit dieser Bezeichnungsweise lassen sich die für einen Winkel oder das Innere eines Dreiecks erforderlichen Schnitte von Halbebenen problemlos und eindeutig angeben.

14.04.2018, 19:15

Elvis

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Danke, das ist ein sehr sinnvoller und praktischer Tipp. Damit lassen sich alle Fragen von Masso23 beantworten, und zwar besser als ich es gekonnt hätte.

14.04.2018, 19:57

Masso23

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Also was ist denn nun an der Definition falsch oder ungenau ?

Definition (Das innere eines Dreiecks mit hilfe von Halbebene):
Sei ein Dreieck ABC gegeben und die punkte A,B und C seien nicht kolinear.Dann ist das innere vom Dreieck gegeben durch den durschnitt von DREI halbebenen. Bennen wir die Halbebenen von den geraden Mit H1,H2 und H3. So gilt: I(ABC):= H1 n H2 n H3.

verwirrt

14.04.2018, 20:24

rumar

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Zitat:

Sei ein Dreieck ABC gegeben und die punkte A,B und C seien nicht kolinear. Dann ist das innere vom Dreieck gegeben durch den durschnitt von DREI halbebenen. Bennen wir die Halbebenen von den geraden Mit H1,H2 und H3. So gilt: I(ABC):= H1 n H2 n H3.

Das Problem ist, dass durch eine Gerade (z.B. diejenige durch A und B) nicht eine Halbebene festgelegt wird, sondern eben zwei. Man kann hier also nicht zu jeder der drei Geraden eine beliebige dieser 2 Halbebenen auswählen, sondern man muss die richtige nehmen. Für die Gerade AB diejenige Halbebene, in welcher der dritte Dreieckspunkt C liegt.

Für diese richtige Auswahl hat ja Huggy schon eine Bezeichnungsweise vorgeschlagen. Er würde diese Halbebene durch die Schreibweise $\begin{eqnarray*} H_{ABC^{+}} \end{eqnarray*}$ kennzeichnen.

14.04.2018, 20:26

Leopold

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Daran ist ungenau, daß du nicht erklärst, wie die Halbebenen zu wählen sind. Schließlich legt eine Gerade immer genau zwei Halbebenen fest. Lies dir Huggys Beitrag noch einmal sorgfältig durch. Er erklärt, wie die Halbebene zu bestimmen ist. Ich darf folgenden Vorschlag zur Bezeichnung machen: Für drei nicht kollineare Punkte $\begin{align*} X,Y,Z \end{align*}$ sei $\begin{align*} XY(Z) \end{align*}$ diejenige durch die Gerade $\begin{align*} XY \end{align*}$ bestimmte offene Halbebene, die den Punkt $\begin{align*} Z \end{align*}$ enthält.

14.04.2018, 20:54

Masso23

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Ok ich verstehe das Problem.

Definition (Das innere eines Dreiecks mit hilfe von Halbebene):
Seien die Punkte A,B und C kolinear und sei ein Dreieck ABC gegeben.
Die geraden AB(strich), BC(strich) und CB(strich) können zwei halbebenen enthalten. Die eine halbebene der geraden AB(strich) da wo sich der Punkt C befindet bennen wir mit $\begin{eqnarray*} H_{AB^+} \end{eqnarray*}$ und für die andere Ebene da wo der Punkt C sich nicht schreiben wir $\begin{eqnarray*} H_{AB^-} \end{eqnarray*}$ .
In der halbebene die BC teilt schreiben wir $\begin{eqnarray*} H_{BC^+} \end{eqnarray*}$ wenn der Punkt A in der ebene liegt und in der halbebene die CA teilt schreiben wir $\begin{eqnarray*} H_{CA^+} \end{eqnarray*}$ wenn der Punkt B in der ebene liegt.
Dann ist das innere vom Dreieck gegeben durch den durschnitt von den DREI halbebenen. I(ABC):= $\begin{eqnarray*} H_{AB^+} \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} H_{BC^+} \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} H_{CA^+} \end{eqnarray*}$ .

Puh ich glaube jetzt ist es zwar richtig aber besser könnte man das wohl schreiben

14.04.2018, 21:10

Leopold

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Es kommt zwar vor, daß man in der Mathematik eine für ein Objekt konstituierende Größe in der Bezeichnung unterdrückt, zum Beispiel, um eine Bezeichnung nicht zu überladen. Hier jedoch finde ich das nicht gut. Wenn du Huggys Bezeichnung übernimmst, dann bitte mit drei Punkten, nicht mit zweien.

14.04.2018, 21:19

Masso23

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Hmm ich weiss jetzt nicht was ich übersehen habe..

Definition (Das innere eines Dreiecks mit hilfe von Halbebene):
Seien die Punkte A,B und C kolinear und sei ein Dreieck ABC gegeben.
Die geraden AB(strich), BC(strich) und CA(strich) können zwei halbebenen enthalten. Die eine halbebene der geraden AB(strich) da wo sich der Punkt C befindet bennen wir mit HAB+ und für die andere Ebene da wo der Punkt C sich nicht befindet schreiben wir HAB−.
In der halbebene die, die gerade BC teilt schreiben wir HBC+ wenn der Punkt A in der ebene liegt ansonsten schreiben wir HBC−. Und in der halbebene die CA teilt schreiben wir HCA+ wenn der Punkt B in der ebene liegt ansonsten schreiben wir HBC− Wenn der Punkt B nicht in der Ebene liegt.
Dann ist das innere vom Dreieck gegeben durch den durschnitt von den DREI halbebenen. I(ABC):= HAB+ n HBC+ n HCA+.

Ein bisschen verbessert und erweitert...

14.04.2018, 21:28

Leopold

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$\begin{align*} I(ABC) = H_{ABC^+} \cap H_{BCA^+} \cap H_{CAB^+} \end{align*}$ (Huggys Vorschlag)

$\begin{align*} I(ABC) = AB(C) \cap BC(A) \cap CA(B) \end{align*}$ (mein Vorschlag)

14.04.2018, 21:44

Masso

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Ups ich habs jetzt gesehen! Hammer

Definition: Seien die Punkte A,B und C kolinear. Weiter Sei ein dreieck durch ABC gegeben. Für die eine halbebene die, die Gerade $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ teilt schreiben wir $\begin{eqnarray*} H_{ABC^+} \end{eqnarray*}$ wenn in der Ebene der Punkt C liegt. Für die eine halbebene die, die gerade $\begin{eqnarray*} \vec{BC} \end{eqnarray*}$ teilt schreiben wir $\begin{eqnarray*} H_{BCA^+} \end{eqnarray*}$ wenn der Punkt A in der ebene liegt. Zu guter letzt schreiben wir für die eine halbebene die die gerade $\begin{eqnarray*} \vec{CA} \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} H_{CAB^+} \end{eqnarray*}$ wenn der Punkt B in der ebene liegt. Zusammengefasst erhalten wir das innere des dreiecks durch: I(ABC):= $\begin{eqnarray*} H_{ABC^+} \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} H_{BCA^+} \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} H_{CAB^+} . \end{eqnarray*}$

So wenn das nun falsch ist weiss ich nicht mehr weiter unglücklich

15.04.2018, 08:32

Leopold

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Du brauchst ein von Variablen abhängiges Objekt nicht dreimal definieren. Einmal genügt. Zum Beispiel so:

Für drei nichtkollineare Punkte $\begin{align*} X,Y,Z \end{align*}$ sei $\begin{align*} H_{XYZ^+} \end{align*}$ diejenige durch die Gerade $\begin{align*} XY \end{align*}$ bestimmte offene Halbebene, die den Punkt $\begin{align*} Z \end{align*}$ enthält.

Und jetzt wendest du diese Definition an für $\begin{align*} X=A, \, Y=B, \, Z=C \end{align*}$ , für $\begin{align*} X=B, \, Y=C, \, Z=A \end{align*}$ und für $\begin{align*} X=C, \, Y=A, \, Z=B \end{align*}$ . Du kannst daher nach der Definition sofort das Innere $\begin{align*} I(ABC) \end{align*}$ des Dreiecks definieren durch

$\begin{align*} I(ABC) = H_{ABC^+} \cap H_{BCA^+} \cap H_{CAB^+} \end{align*}$

Und noch etwas: Du solltest nicht "die Gerade $\begin{align*} \overrightarrow{AB} \end{align*}$ " sagen, denn das ist ja ein Vektor, sondern einfach nur "die Gerade $\begin{align*} AB \end{align*}$ ".

15.04.2018, 08:55

Masso23

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Oh vielen vielen dank Leopold das sieht um einiges schöner aus als meine lange Definition.
Ich habe mir die Bezeichnung für die Gerade nicht ausgedacht so macht das unsere Professorin unglücklich

Leopold könnte ich dann den Winkel so Definieren:

Definition: Für drei nichtkollineare Punkte X,Y,Z sei HXYZ+ diejenige durch die Gerade XY bestimmte offene Halbebene, die den Punkt Z enthält.

Definition (innere Winkel): Für X=A, Y=B, Z=C und für X=A,Y=C,Z=B ist (winkel A):= $\begin{eqnarray*} H_{ABC^+} \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} H_{AYC^+} \end{eqnarray*}$ der innere Winkel A.
Für X=B, Y=A,Z=C und für X=B,Y=C,Z=A ist (winkel B):= $\begin{eqnarray*} H_{BAC^+} \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} H_{BYC^+} \end{eqnarray*}$ der innere Winkel B.
Zu guter letzt ist für X=C,Y=A,Z=B und für X=C,Y=B,Z=A der innere Winkel von C gegeben durch (winkel C):= $\begin{eqnarray*} H_{CAB^+} \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} H_{CBA^+} \end{eqnarray*}$

Ist das mathematisch richtig ?

Und stimmt mein beitrag zu b) von gestern? Oder geht das präziser

15.04.2018, 11:32

Leopold

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Zitat:

Original von Masso23
Ich habe mir die Bezeichnung für die Gerade nicht ausgedacht so macht das unsere Professorin unglücklich

Das würde ich bis zum Beweis des Gegenteils bestreiten.

15.04.2018, 11:44

Masso23

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Sorry damit wird ein Strahl definiert..
Was ist nun mit der Definition vom winkel des inneres und mit der b)??

15.04.2018, 19:41

Huggy

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Weshalb hast du bei dem Winkel denn wieder so eine Buchstabenorgie verantaltet, nachdem dir doch Leopld sagte

Zitat:

Original von Leopold
Du brauchst ein von Variablen abhängiges Objekt nicht dreimal definieren. Einmal genügt. Zum Beispiel so:

Für drei nichtkollineare Punkte $\begin{align*} X,Y,Z \end{align*}$ sei $\begin{align*} H_{XYZ^+} \end{align*}$ diejenige durch die Gerade $\begin{align*} XY \end{align*}$ bestimmte offene Halbebene, die den Punkt $\begin{align*} Z \end{align*}$ enthält.

Wenn du die Definition nun auf Punkte anwendest, die andere Bezeichnungen haben, musst du eine Zuordnung wie

Zitat:

Original von Leopold
Und jetzt wendest du diese Definition an für $\begin{align*} X=A, \, Y=B, \, Z=C \end{align*}$ , für $\begin{align*} X=B, \, Y=C, \, Z=A \end{align*}$ und für $\begin{align*} X=C, \, Y=A, \, Z=B \end{align*}$ .

nicht noch mal explizit aufschreiben, weil sie sich ja aus der Schreibweise der Halbebene automatisch ergibt.

Für den Winkel $\begin{eqnarray*} \angle \; QSR \end{eqnarray*}$ genügt es also, nachdem die Schreibweise für eine Halbebene definiert wurde, zu schreiben: Es seien $\begin{eqnarray*} Q, S, R \end{eqnarray*}$ drei paarweise verschiedene und nicht kollineare Punkte. Es sei $\begin{eqnarray*} \angle \; QSR \end{eqnarray*}$ der Winkel mit dem Scheitelpunkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , bei dem $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ auf dem einen und $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ auf dem anderen Schenkel des Winkels liegt. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} I(\angle \; QSR)=H_{QSR^+} \cap H_{RSQ^+} \end{eqnarray*}$

Bei b) ist ziemlich offensichtlich die Aussage i. richtig. Die Aussage ii. ist dagegen nicht richtig, denn die Strecke $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ ist gleich der Strecke $\begin{eqnarray*} BA \end{eqnarray*}$ . Wenn also $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} A'B' \end{eqnarray*}$ . so kann es auch sein, dass gilt $\begin{eqnarray*} A=B' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=A' \end{eqnarray*}$ .

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