LGS-Aufgabe mit Mengenverhältnissen

13.04.2018, 21:00

matheuser

LGS-Aufgabe mit Mengenverhältnissen

Meine Frage:
Hallo, ich bräuchte eine Ergebnisüberprüfung zu folgender Aufgabe, Vielen Dank:

Eine Großküche stellt aus drei Mahlzeiten A,B,C ein Menü zusammen. In Fig. 34.1 ist jeweils der Anteil (in Prozent) von Eiweiß (E), Kohlenhydrate (K) und Fett (F) in einer Mengeneinheit (ME) von A,B,C angegeben.

34.1
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ c|c|c|c } & A & B & C \\ \hline E & 30 & 30 & 40\\ K & 40 & 45 & 50\\ F & 30 & 25 & 10\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

a) Das Menü enthalte 2 ME von A, 0,5 ME von B und 1,5 ME von C. Welche Anteile haben E,K und F im Menü?
b) Ein Menü enthalte 35% Eiweiß, x% Kohlenhydrate und y% Fett. Die Mengeneinheiten von A,B,C verhalten sich wie 2:3:z. Bestimme x,y,z.

Meine Ideen:

Meine Lösung zu a):
A, B und C betrachte ich als Vektoren, e,k und f sind die Variablen für die Eiweiße, Kohlenhydrate und Fette in Prozent am Menü. Das Menü besteht aus 4 ME. Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} 2\begin{pmatrix} 30\\ 40\\ 30\\ \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 30\\ 45\\ 25\\ \end{pmatrix} + \frac{3}{2}\begin{pmatrix} 40\\ 50\\ 10\\ \end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix} e\\ k\\ f\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc} 60 & +15 & +60 & = 4e\\ 80 & +45/2 & +75 & = 4k\\ 60 & +25/2 & +15 & = 4f\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

auf Zeilenstufenform gebracht:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc} e & & & = 135/4 \\ & k & & = 355/8\\ & & f & = 175/8\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge ist
L={(e;k;f) | e=135/4 ; k=355/8 ; f=175/8 }
Eiweiß hat demnach einen Anteil von 33,75% am Menü, Kohlenhydrate einen Anteil von 44,375% und Fett einen Anteil von 21,875%, macht in der Summe 100%.

Meine Lösung zu b):
Gleicher Ansatz wie bei a), nur hier mit Verhältnissen der Mengeneinheiten, mit

$\begin{eqnarray*} 2\begin{pmatrix} 30\\ 40\\ 30\\ \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 30\\ 45\\ 25\\ \end{pmatrix} +z\begin{pmatrix} 40\\ 50\\ 10\\ \end{pmatrix} = (5+z) \begin{pmatrix} 35\\ x\\ y\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt sich folgendes Gleichungssystem in dem zunächst noch Produkte zweier Variabeln vorkommen (dabei ist (5+z) die Bezugsgröße/Nenner der Mengenverhältnisse, oder die Summe der Anteile):

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc} 60 & +90 & +40z & = (5+z)35 \\ 80 & +135 & +50z & = (5+z)x\\ 60 & +75 & +10z & = (5+z)y\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich z=5, und durch Einsetzen von z=5 in Gleichung zwei und drei, werden die Produkte zweier Variablen auf eine Variable reduziert, mit den weiteren Lösungen x=46,5 und y=18,5.

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc} x & & & = 465/10\\ & y & & = 185/10\\ & & z & = 50/10 \\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge lautet:
L={(x;y;z) | x=93/2 ; y=37/2 ; z=5 }

Die Mengeneinheiten von A,B,C verhalten sich wie 2:3:5, und die Anteile von Eiweiß, Kohlenhydrate und Fett an dem Menü betragen 35%, 46,5% und 18,5%.

Ich habe eine Ergebnisüberprüfung mit ME=122g durhgeführt. Die absoluten Zahlen die sich daraus ergeben entsprechen den errechnten Prozenten. Ich finde es sieht gut aus, was meint ihr?

Edit (mY+): LaTeX berichtigt! Du musst hier bei den Tags anstatt "tex" eben "latex" verwenden!

13.04.2018, 22:12

matheuser

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: LGS-Aufgabe mit Mengenverhältnissen
Ich kann meinen Beitrag nicht editieren, da ich noch nicht registriert bin. Ich kann mich nicht registrieren da Recaptcha nicht funtioniert. Ich kann auf meinem Rechner Java nicht installieren damit Recaptcha funktioniert. Bis ich die LaTeX Befehle richtig darstellen kann, wird es also noch dauern.
Ich bin sonst ausschließlich auf uni-protokolle.de unterwegs. Da muss man die LaTeX selber tippen, und schließt diese mit [tex] und [/tex] ein.

Aber:
In der Aufgabenstellung gibt es eine Tabelle in der zu jedem Gericht der prozentuale Anteil von Eiweiß (E), Kohlenhydrate (K) und Fett (F) stehen.

Gericht A hat 30% Eiweiß, 40% Kohlenhydrate und 30% Fett.
Gericht B hat 30% Eiweiß, 45% Kohlenhydrate und 25% Fett.
Gericht C hat 40% Eiweiß, 50% Kohlenhydrate und 10% Fett.

13.04.2018, 22:57

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: LGS-Aufgabe mit Mengenverhältnissen

Zitat:

Original von matheuser
...
Da muss man die LaTeX selber tippen, und schließt diese mit [tex] und [/tex] ein.
...

Bitte verwende hier

code:
1:	[latex] und [/latex]

oder kurz nur ein kleines L

code:
1:	[l] und [/l]

und schon erscheint damit dein schöner Text korrekt.
------------

Zur Aufgabe selbst: Auf den ersten Blick erscheint dein Rechenweg logisch und richtig, die Ergebnisse im Einzelnen habe ich nicht nachgeprüft.

mY+

13.04.2018, 23:24

matheuser

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: LGS-Aufgabe mit Mengenverhältnissen
Ja. Mir ist nach meinem Post durch den Formeleditor hier aufgefalllen wie man hier LaTeX Befehle einbinden muss. Ich bin aber leider immer noch nicht registriert und konnte deswegen nicht editieren, und wollte die Mods nicht stören Augenzwinkern

. Danke für die Korrektur.

Zur Aufgabe:
Danke fürs Feedback. Das klingt doch schon mal gut.

Übrigens hat uni-protokolle.de keinen Spamschutz und wird gerade mächtig von bots vollgemüllt. Leider konnte ich mich hier noch nicht registrieren. Vllt gibt es aber eine einfache Erklärung für den ReCaptcha Shutdown bei der Registrierung, die nichts mit meinem Rechner zu tun hat?

13.04.2018, 23:43

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Über Letzteres kann ich leider nichts sagen, da müsstest du dich an die Administration wenden (Thomas; Equester) oder an jemanden, der dies zufällig weiss.

mY+

13.04.2018, 23:45

matheuser

Auf diesen Beitrag antworten »

Neue Frage »

Antworten »

LGS-Aufgabe mit Mengenverhältnissen

Verwandte Themen