Nachweis größter Abstand Punkt - Ebene

15.04.2018, 11:46

Marsuxxx

Nachweis größter Abstand Punkt - Ebene

Ich hoffe, ihr könnt mir bei folgender Aufgabe (siehe Anhang) weiterhelfen. Große Probleme habe ich bei Teil b).

zu a): Hier habe ich die Lotgerade durch M‘ gebildet und dann deren Schnittpunkt mir der Ebene E berechnet. Dieser Schnittpunkt entspricht ja dann dem gesuchten Punkt M. Mein Ergebnis: M (2/-1/5).

zu b): Ich habe jetzt den Abstand des Punktes D von der xy-Ebene berechnet, dieser beträgt 6 LE. Wie kann ich aber jetzt nachweisen, dass der Punkt D von allen Punkten der Deckfläche derjenige Punkt ist, der den größten Abstand zur xy-Ebene hat? Ich könnte beispielhaft noch 2 weitere Punkte von der Deckfläche nehmen und zeigen, dass deren Abstand kleiner als 6 LE ist. Aber das ist ja kein allgemeiner Nachweis …

Besten Dank für eure Hilfe!

15.04.2018, 16:47

Kääsee

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Wirklich weiterhelfen kann ich dir leider nicht, aber ich "folge" diesem Thema mal, da es mich auch interessiert. Für den Mittelpunkt habe ich das gleich Ergebnis wie du.
Die Punkte der Deckfläche entstehen ja eigentlich durch Projektion der Punkte des Kreises mit Mittelpunkt M, der in der Ebene E liegt.
Durch Google habe ich eine Parameterform des Kreises im 3-dimensionalen gefunden. Kennst du dich damit aus? Theoretisch müsstest du ja dann den "allgemeinen" Abstand der Punkte des Kreises zur xy-Ebene berechnen.
Vielleicht wäre es auch möglich, die Kugelgleichung mit Mittelpunkt M herzunehmen, aber dann nur die Punkte zu betrachten, die in der Ebene E liegen... verwirrt

Eventuell habe ich dir ja durch mein Gefasel schon weitergeholfen oder du hast dadurch die zündende Idee bekommen Big Laugh

15.04.2018, 17:12

Dopap

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RE: Nachweis größter Abstand Punkt - Ebene

Zitat:

Original von Marsuxxx
[...]
zu b): Ich habe jetzt den Abstand des Punktes D von der xy-Ebene berechnet, dieser beträgt 6 LE.

der Abstand von (2,4,6) zur xy-Ebene beträgt also 6 LE geschockt

Ist das nicht im Wesentlichen die Definition einer dritten Koordinate ? Da gibt es nix zu rechnen.

Es geht ja darum den höchsten Punkt einer Ellipse im Raum zu finden. Das ist aber im Allgemeinen eine ziemlich harte Nuss. Also muss was einfacheres her.

Die Ebene enthält kein x oder Null mal x. d.h. die Ebene stellt sich in der yz Ebene als Gerade dar. Die Ellipse als Strecke im Raum. Die Projektion dieser Strecke in die xy Ebene ist der Durchmesser des Kreises in der xy Ebene. Der Punkt D'(2,4,0) liegt 5 LE = 4-(-1) vom Mittelpunkt entfernt und ist demnach Randpunkt des Kreises. Folglich ist (2,4,6) oberster Randpunkt der Ellipse. Augenzwinkern

Etwas besseres ist mir jetzt nicht eingefallen.

15.04.2018, 17:41

Kääsee

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Am besten ignoriert ihr, was ich geschrieben habe, ich habe ja fälschlicherweise angenommen, dass der Schnitt auch einen Kreis mit selbem Radius darstellt LOL Hammer

@Dopap: hast du evtl eine Zeichnung oder so, die deine Erklärung verdeutlicht? Ich kann dem irgendwie nicht ganz folgen. Vor allem, wie du darauf kommst, dass der Punkt D gerade oberster Randpunkt sein muss. Dass D' auf dem Kreisring liegt, ist klar.

15.04.2018, 18:46

Dopap

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mmh.. wenn die Ebene z=5 um eine zur x Achse parallelen Achse durch M dreht und mit dem Zylinder schneidet entsteht die Ellipse deren große Achse in D "endet"

Sprachlich nicht ganz einfach. Laut Aufgabe ist D Element der Deckfläche und D' ist Kreispunkt und sogar Endpunkt eines Durchmessers senkrecht zur Drehachse x .

Bin mir aber sicher, dass $\begin{eqnarray*} \vec x = (2,4,t)^T \end{eqnarray*}$ die Ebene in D schneidet:

$\begin{eqnarray*} 4-5z+26=0 \Rightarrow z=6 \end{eqnarray*}$

Und sowas wie: D ist Punkt der Deckfläche aber nicht des Randes wäre zu gemein und passt auch nicht zur Beweisvorgabe

15.04.2018, 19:13

Kääsee

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Ich glaub, ich bin jetzt komplett raus Big Laugh

Für sowas wie "zur x Achse parallelen Achse durch M dreht und mit dem Zylinder schneidet" brauche ich definiv Bilder Big Laugh

Vielleicht konntest du ja Marsuxxx helfen.
Mit deinem Vektor, der die Ebene in D schneidet, bin ich aber d'accord Augenzwinkern

15.04.2018, 19:56

Huggy

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Man kann die Sache problemlos rein rechnerisch handhaben. Der Halbzylinder hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2+(y+1)^2=25,\,z\geq 0 \end{eqnarray*}$

Die Ebenenengleichung kann geschrieben werden als

$\begin{eqnarray*} y=5z-26 \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Zylindergleichung und Auflösen nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ergibt:

$\begin{eqnarray*} z=5 \pm \frac 1 5 \sqrt {25-(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ergibt sich das maximale $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bei dem Pluszeichen vor der Wurzel. Dann muss die Wurzel möglichst groß werden, also $\begin{eqnarray*} (x-2)^2 \end{eqnarray*}$ möglichst klein. Das ergibt $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ und anschließend $\begin{eqnarray*} z=6 \end{eqnarray*}$ .

15.04.2018, 20:01

Kääsee

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Das ist natürlich sehr elegant!
Vielen Dank für deine Ausführungen. Wäre nie darauf gekommen, den Zylinder durch einen Kreis mit variabler z-Komponente zu beschreiben!

15.04.2018, 22:16

Marsuxxx

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Besten Dank Huggy! Diesen Lösungsansatz kann ich jetzt gut nachviollziehen.

15.04.2018, 23:01

riwe

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eine sehr schöne Lösung von Huggy Gott

wenn man das Problem nicht in R2 lösen will - siehe Dopap - könnte man auch die z-Komponente der Ellipse maximinimieren, vermute ich

Die Ellipsengleichung könnte lauten:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ 5 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\1 \end{pmatrix} \cdot cos\phi+5\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot sin\phi \end{eqnarray*}$

was das gewünschte Ergebnis für minimalen und maximalen Abstand liefert

onegewer Augenzwinkern

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