Extremwertaufgabe

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ExtremerFuchs Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe
Meine Frage:
Gegeben ist der Graph f(x)=1/3x³-x². Die Punkte O(0|0), Q(x|0) und P (x|y) begrenzen ein Dreieck. Bestimmen sie P so, dass dessen Flächeninhalt maximal wird.

Meine Ideen:
Habe als HB: A=1/2 g h und dann als Zielfunktion: A(x)=1/2*3*(1/3x³-x²)
Wenn ich jetzt das ausrechne, komme ich darauf, dass das Maximum bei 0 und das Minimum bei 2 ist ... das macht aber keinen Sinn, weil das exakt anders herum ist ... woran liegt das? dass die Fläche unterhalb der x-Achse liegt?
ExtremerFuchs Auf diesen Beitrag antworten »

SORRY, habe mich vertan:

Also:
(1) HB: A(g,h)=1/2*g*h
(2) NB: h=f(x)=1/3x³-x² und g=x
(3) Zf: A(x) 1/2x(1/3x³-x²)=1/6x^4+1/2x³
(4) komme jetzt auf 0 und 2,25 ... da kommt bei mir bei der 2. Ableitung aber wieder nix gutes raus, weil die größer als 0 ist traurig
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Gehe ich recht in der Annahme, dass P(x/f(x)) heisst und nicht etwa P(x/y)? ansonsten wäre es nämlich irgendein Punkt im Raum ohne Bezug zur Funktion.

Bei deinem A(x) hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Trotzdem wird deine Zielfunktion lokal einen minimalen Wert ergeben, da sie im Negativen verläuft und somit keine Fläche beschreibt:
ExtremerFuchs Auf diesen Beitrag antworten »

Deine 1. Annahme ist mMn auch richtig, steht aber so wie ich es geschrieben habe in der Aufgabe.

Wo ist genau der Vorzeichenfehler? ... macht es nicht sogar Sinn, dass die Zahl des Flächeninhalts ein Minimum ist, weil sie negativ ist und damit die kleinst mögliche Zahl verwirrt
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, es ist für Helferlein ok, wenn ich antworte.
Bei deinem (3) müsste es ein Minus sein.
Ich würde so vorgehen, dass ich da, wo die Funktionswerte negativ sind, den Betrag der Funktion in die Zielfunktion einsetze. Ebenso mit dem x-Wert, wenn dieser ins Negative geht.
ExtremerFuchs Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist halt, dass man ja nur so sinnvolle Ergebnisse für das Intervall 0<x<3 bekommt, weil da die Nst liegen.

2,25 ist ja das richtige Ergebnis, nur mathematisch das korrekt darzustellen ist mMn schwierig. Wenn ich den Betrag der Funktion in die Zf einsetze, erhalte ich ja -2,25 und das macht ja genauso viel Sinn wie dass die zweite Ableitung für 2,25 positiv ist und damit ein Minimum vorliegt. unglücklich
 
 
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es so machen, dass du eine stückweise definierte Zielfunktion hernimmst.
Im Intervall (0,3) ist deine ursprüngliche Funktion negativ, ebenso für x<0.
Also betrachte mal

Dann erhälst du für x<0: und , für x im Intervall (0,3) und und für x>3 und
Insgesamt ergibt sich dann als Zielfunktion


edit: die -2,25 bekommst du auch nur wegen deinem Vorzeichenfehler Augenzwinkern
Dennoch erhältst du mit meiner definierten Zielfunktion dann eine negative zweite Ableitung (da 2,25<3), also ein Maximum.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@ExtremerFuchs: Jetzt bist Du völlig auf dem Holzweg:

1) Wieso sollte sich der x-Wert verändern, wenn Du anstelle der Funktion ihren Betrag nimmst?

2) Wieso sollte ein Dreieck rechts von der Nullstelle nicht sinnvoll sein? Es hat immer noch drei Punkte und ist, wie die anderen auch, rechtwinklig.

Entweder ist die Aufgabe sehr schlampig gestellt, oder Du hast die Aufgabe nicht im Originaltext wiedergegeben.
Gehen wir also mal von dem von Dir geschilderten Fall aus, dass y=f(x) und gilt, dann muss sich für dein A(x) ein Minimum ergeben, wie ich oben schrieb, um für die Fläche ein Maximum zu bekommen. Dein A(x) beschreibt dann aber nicht die Fläche, sondern die negativ Fläche.
Sinnvoller wäre es also gleich anzusetzen.
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