Gradient einer Funktion mit 2 Variablen

15.04.2018, 15:10	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient einer Funktion mit 2 Variablen Gibt es eine Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R, \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \nabla f(x,y)=(3y,-2x) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ? Hinweis: Satz von Schwarz Meine Idee: $\begin{eqnarray} \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} f_x(x,y)\\ f_y(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x\\ 3y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Satz von Schwarz gibt aber nur Aussagen über die 2. Ableitung oder höher, also das: $\begin{eqnarray} f_{xy} = f_{yx} \end{eqnarray}$ Soll ich nun einfach $\begin{eqnarray} f_{xy} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{yx} \end{eqnarray}$ bilden und schaun ob sie gleich sind ? $\begin{eqnarray} f_{xy} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{yx} = 0 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} f_{xy} = f_{yx} \end{eqnarray}$ . Stimmt das so? oder muss ich noch Stetigkeit überprüfen, obwohl das eig. offensichtlich ist.
15.04.2018, 16:56	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die erste Komponente ist ja bereits nach x abgeleitet und die zweite bereits nach y (zumindest stellt man sich das hier so vor). Du müsstest also die erste nach y, und die zweite nach x ableiten. LG sibelius84
15.04.2018, 17:19	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich ja gemacht oder, die sin beide 0. Oder hab ichs verkehrt gemacht. Dann käme $\begin{eqnarray} f_{xy} = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{yx} = -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xy} \neq f_{yx} \end{eqnarray}$
15.04.2018, 20:24	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Du hast ganz am Anfang ohne Not die beiden Komponenten vertauscht und dadurch wurde der Rest falsch. (Du hast dann das, was da stand, folgerichtig behandelt - war nur leider schon der Wurm drin ) Man kann das übrigens auch so sehen: Das Feld (y,x) hat offensichtlich die Stammfunktion xy (+c). Also hat (3y,3x) die Stammfunktion 3xy(+c). Da Summen [und Differenzen] von Gradientenfeldern wieder Gradientenfelder sind, würde aus der Annahme, (3y,-2x) hätte eine Stammfunktion, nun folgen, dass auch (0,5x) eine hätte -> Widerspruch.

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