Metrik

16.04.2018, 09:11

Hendrik32

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Metrik

Hallo,
ich würde gerne zeigen, dass ein metrischer Raum, versehen mit der diskreten Metrik vollständig ist:
Dafür müssen ja alle Cauchyfolgen konvergieren.
Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ solch eine Folge.
Es muss gelten $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists N=N(\epsilon): <br /> d(x_n,x_m) <\epsilon \forall n,m \geq N<br /> \end{eqnarray*}$
Das muss ja auch für epsilon <1 gelten.
Es gibt dann also einen Index N, ab dem $\begin{eqnarray*} x_n=x_m \end{eqnarray*}$ ,
Also der Abstand d(...)=0 ist.
D.h ab diesem N sind die Folgeglieder konstant.
Sei x also irgendeines dieser konstanten Folgeglieder, so konvergiert x_n nach x. Ist das so auch formal korrekt? smile

smile

16.04.2018, 10:53

PWM

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RE: Metrik
Hallo,

im Prinzip sind Deine Überlegungen richtig. Sprachlich könnte es noch verbessert werden.

Du schreibst:

Zitat:

Es gibt dann also einen Index N, ab dem $\begin{eqnarray*} x_n=x_m \end{eqnarray*}$ ,

Hier tauchen die 3 Variablen N,n,m ohne bezug zueinander auf, auch wenn wir wissen, was Du meinst. Genauer könnte man sagen: Zu $\begin{eqnarray*} \epsilon=0.5 \end{eqnarray*}$ (zum Beispiel) existier ein N, so dass für $\begin{eqnarray*} m \geq N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} d(x_N,x_m) <0.5 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} d(x_N,x_m) =0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x_N=x_m \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Folge abe dem Index N konstant und konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ .

Du schreibst:

Zitat:

Sei x also irgendeines dieser konstanten Folgeglieder,

Das hör sich so an, als ob es mehrer gibt? Ein sprachlicher Widerspruch in sich.

Gruß pwm

16.04.2018, 11:55

Hendrik32

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RE: Metrik
Danke smile

smile

Aber es gibt doch einen Index ab dem die Glieder konstant sind. Und dann ist doch egal, welches man als GW nimmt. Wie würdest du das formulieren smile

smile

16.04.2018, 12:08

PWM

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RE: Metrik
Hallo,

wie gesagt, es geht nur um die sprachliche Frage, ob es sinnvoll ist, von einer Auswahl zu sprechen, wenn doch alle (ab einem Index) gleich sind. Ist vielleicht eine Geschmacksfrage.

Gruß pwm

16.04.2018, 12:10

sibelius84

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Kurzeinwurf:
Ganz sauber wäre es mit
"Sei also $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der gemeinsame Wert all dieser konstanten Folgenglieder..."

16.04.2018, 13:53

Hendrik32

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Aso

Augenzwinkern

Ich habe noch 2 Verständisfragen.
Die Folge x_n, x_m sind doch Vektorfolgen, d.h bestehen aus Einträgen, die wieder Folgen sind oder?
2. Liegt dann der Grenzwert der Cauchyfolgr wieder in selben Raum. Wie sieht man das?

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16.04.2018, 20:37

Hendrik32

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Kann jmd dazu etwas sagen? smile

smile

16.04.2018, 23:54

sibelius84

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Du hast einen allgemeinen metrischen Raum vorliegen, insofern sind die x_m, x_n erstmal Elemente aus diesem metrischen Raum. Der kann aus reellen oder komplexen Zahlen bestehen, oder der |R^n oder |C^n sein, oder ein Folgen- oder Funktionenraum sein, etc. pp. In dem Moment, wo man mit einem allgemeinen metrischen Raum arbeitet, hat man es aber kaum schwerer als in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Vollständigkeit des Raumes, also dass der Grenzwert wieder darinliegt:

Die Folge ist ja von der Form $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N}=(x_1,\ldots,x_N,\alpha,\alpha,\alpha,\ldots) \end{eqnarray*}$ - das hast du ja gezeigt. Da $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X \end{eqnarray*}$ gilt, gilt insbesondere $\begin{eqnarray*} \alpha\in X \end{eqnarray*}$ .

17.04.2018, 07:36

Hendrik32

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Zitat:

Original von sibelius84
Du hast einen allgemeinen metrischen Raum vorliegen, insofern sind die x_m, x_n erstmal Elemente aus diesem metrischen Raum. Der kann aus reellen oder komplexen Zahlen bestehen, oder der |R^n oder |C^n sein, oder ein Folgen- oder Funktionenraum sein, etc. pp. In dem Moment, wo man mit einem allgemeinen metrischen Raum arbeitet, hat man es aber kaum schwerer als in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also können es beliebige Folgen als auch Vektorfolgen sein. Ich frage nur wegen der Indizierung, denn wir haben in der Vorlesung Vektorfolgen mit Index oben gekennzeichnet. Aber es kann ja in einem metrischen Raum alles ein. Also passen dann meine Indizes so?

Zitat:

Original von sibelius84
Die Folge ist ja von der Form $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N}=(x_1,\ldots,x_N,\alpha,\alpha,\alpha,\ldots) \end{eqnarray*}$ - das hast du ja gezeigt. Da $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X \end{eqnarray*}$ gilt, gilt insbesondere $\begin{eqnarray*} \alpha\in X \end{eqnarray*}$

Warum ist de Grenzwert in der Menge. Ich habe doch nur gezeigt, dass die Cauchyfolge konvergiert?

17.04.2018, 12:24

sibelius84

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Deine Indices passen so. "Hochstapeln" müsstest du erst dann, wenn es zB hieße: "Sei (X,d) ein metrischer Raum. Wir betrachten nun den Raum c(X) aller konvergenten in Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X \end{eqnarray*}$ mit der von d induzierten Supremumsmetrik..." Dann gäbe es Bedarf, dies unterscheiden zu können. Wenn die Aufgabe nicht hochstapelt, musst du das auch nicht tun smile

smile

Du hast gezeigt, dass die Cauchyfolge konvergiert und zwar gegen eines ihrer Glieder. Da die Folgenglieder alle in X liegen und der Grenzwert hier "zufällig" ein Folgenglied ist, weißt du, dass der
Grenzwert in X liegt.

17.04.2018, 16:05

Hendrik32

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Danke dir

smile

Alles klar smile

smile

Ich habe folgende Aufgabe noch als Gegenbeispiel eines nicht vollstänndigen Raumes aus einem Buch.

Da fang ich ja gleich an. Bilde auch wieder die Differenz zweier Glieder f_n -f_m.
Wenn ich das dann auf einen Nener bringe, komme ich nicht weiter. Kannst du mir vllt einen Tipp geben, wie man abschätzen kann?
Irgendwie mit der Maximumsnorm?

17.04.2018, 16:08

Hendrik32

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Hier die Aufgabe.

17.04.2018, 20:27

sibelius84

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Ich mache mal einen vorschlagsweisen Zwei-Punkte-Plan mit zwei Unterpunkten, evtl. kannst du dann noch mal sagen, an welcher Stelle es genau hakt:

(1) Zeige, dass die Folge in X konvergiert. (D.h.: Bestimme den punktweisen Limes und zeige dann mit der Maximumsnorm, dass die Konvergenz gegen diesen sogar gleichmäßig ist.) Daraus folgt,
(a) dass sie eine Cauchyfolge in X ist;
(b) dass die Grenzfunktion (wenn man sie sich mal genau betrachtet) in X\Y liegt, sprich: nicht differenzierbar ist.

(2) Zeige, dass alle Folgenglieder in Y liegen. Cauchyfolge wissen wir schon, also folgt, dass sie eine Cauchyfolge in Y ist.

Gemäß (1) liegt aber die Grenzfunktion nicht in Y - Folgerung: Y ist nicht vollständig.

17.04.2018, 21:32

Hendrik32

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Danke dir erstmal smile

smile

Also zu 1.)
(1)
Also lim n gegen unendlich ergibt ja $\begin{eqnarray*} sin(\frac{2 \pi}{T} x) \end{eqnarray*}$ Das gilt doch für alle x, denn der |sin(....)| ist ja durch 1 beschränkt. Die Grenzfunktion ist wieder eine periodische Funktion. Liegt also in X.
Warum muss ich dann mit der Maximumsnorm nochmal abschätzen. Es gilt doch schon für alle x?
Und warum folgt daraus, dass man dann eine Cauchy -Folge hat?

18.04.2018, 15:30

sibelius84

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Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist immer eine Cauchy-Folge!

lim n gegen unendlich ergibt |sin((2pi/T)x)|. Also mit Betragsstrichen. Das ist nicht differenzierbar. Ich verstehe aber leider gerade nicht, warum die einzelnen Funktionen differenzierbar sein sollen. Vielleicht fällt es mir später noch ein.

18.04.2018, 16:46

Hendrik32

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Wo kommt den bei dir der Betrag her?
Und was wolltest du da mit der Maximumsnorm machen?

18.04.2018, 17:29

sibelius84

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Der Betrag kommt bei mir daher, dass (für $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{\lvert y \rvert}=\lvert y \rvert \end{eqnarray*}$ gilt. Und der punktweise Grenzwert der Funktionenfolge ist ja genau das, mit y=sin(...).

Mit der Maximumsnorm muss man nun noch zeigen, dass diese punktweise auch die gleichmäßige Grenzfunktion ist. Also man muss $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in\mathbb R}\left\lvert f_n(x)-\lvert \sin\left(\frac{2\pi x}{T}\right)\rvert\right\rvert \end{eqnarray*}$ abschätzen und zeigen, dass das gegen 0 läuft mit n gegen unendlich.

Ich weiß jetzt übrigens auch, warum die einzelnen Funktionenfolgenglieder differenzierbar sind. Für x keine Nullstelle des Sinus (also $\begin{eqnarray*} x\notin \pi\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ) ist das klar. Falls sin(x)=0, kann man es relativ einfach zeigen - mit Hilfe der Definition der Differenzierbarkeit, also des Differentialquotienten -, wenn man da eine (bekannte) Ableitung des sin bzw. sin² drin wiedererkennt und abspaltet, um vom Rest dann einfach den Grenzwert bestimmen zu können.

18.04.2018, 18:15

Hendrik32

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Aso. Ich hatte vergessen, dass f_n im Nenner den Betrag hatte. Tut mir leid.

Zur Abschätzung mit der Maximumsnorm:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sup \left| \frac{sin^2(\frac{2 \pi}{T} x) }{\frac{1}{n} + |sin(\frac{2 \pi}{T} x)|}- |sin(\frac{2 \pi}{T} x)| \right| \end{eqnarray*}$
Würdest du das auf einen Nenner bringen oder gleich den sinus mit 1 abschätzen?

Warum muss ich zeigen, dass die Funktionsfolgen diffbar sind?

18.04.2018, 18:49

sibelius84

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1.) Ich würde es auf einen Nenner bringen.

2.) Damit sie eine Cauchyfolge in Y bilden. smile

smile

18.04.2018, 20:28

Hendrik32

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Ich komme noch nicht klar:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sup \left| \frac{sin^2(\frac{2 \pi}{T} x) }{\frac{1}{n} + |sin(\frac{2 \pi}{T} x)|}- |sin(\frac{2 \pi}{T} x)| \right| =<br /> <br /> <br /> \sup \left| \frac{sin^2(\frac{2 \pi}{T} x) - \frac{1}{n}|sin(\frac{2 \pi}{T} x)| - |sin(\frac{2 \pi}{T} x)|^2 }{\frac{1}{n} + |sin(\frac{2 \pi}{T} x)|}\right| <br /> \end{eqnarray*}$

Wann wende ich dann das sup an. Ich weis nicht was ich da vereinfachen soll?

18.04.2018, 21:45

sibelius84

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Die Quadrate heben sich weg. Denn in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} y^2=\lvert y\rvert^2 \end{eqnarray*}$ .

18.04.2018, 22:26

Hendrik32

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Dann erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \sup \left| \frac{- \frac{1}{n}|sin(\frac{2 \pi}{T} x)| }{\frac{1}{n} + |sin(\frac{2 \pi}{T} x)|}\right| =<br /> \sup \frac{\frac{1}{n}|sin(\frac{2 \pi}{T} x)| }{\frac{1}{n} + |sin(\frac{2 \pi}{T} x)|}<br /> \end{eqnarray*}$
Wenn ich das supremum bilde, wird der sin(...) im Zähler 1. Der sin im Nenner muss 0 sein, denn -1 würde zwar denn Nenner mehr verkleinern, wird jedoch nicht angenommen wegen dem Betrag. Trotzdem kommt dann insgesamt 1 raus und nicht 0. Wieder etwas falsch unglücklich

unglücklich

19.04.2018, 14:52

sibelius84

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Gilt nicht einfach

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \sup \left| \frac{- \frac{1}{n}|sin(\frac{2 \pi}{T} x)| }{\frac{1}{n} + |sin(\frac{2 \pi}{T} x)|}\right| =<br /> \sup \frac{\frac{1}{n}|sin(\frac{2 \pi}{T} x)| }{\frac{1}{n} + |sin(\frac{2 \pi}{T} x)|}\leq \sup \frac{\frac 1 n \lvert \sin\left(\frac{2\pi}{T}x\right)\rvert}{\lvert \sin\left(\frac{2\pi}{T}x\right)\rvert} = \frac 1 n<br /> \end{eqnarray*}$

?

19.04.2018, 15:09

Hendrik32

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Vielen Dank smile

smile

Jetzt habe ich also, dass die Funktionsfolge gleichmäßige konvergiert, d.h ein Cauchyfolge ist. Diese liegt in X, da die Grenzfunktion stetig ist und periodisch.

D.h ja schon , dass X vollständig ist.

Dann wissen wir jezt auch, dass die Grenzfunktion nicht in Y liegt, da der Betrag nicht diffbar ist.

Jetzt geht es dann noch darum nachzuweisen, ob die Cauchyfolge in Y liegt, d.h die Glieder müssen differenzierbar sein.

Du hast gesagt, wenn der sinus nicht 0 ist, ist es klar, warum?

19.04.2018, 15:21

sibelius84

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Da die einzelnen Funktionenfolgenglieder aus Funktionen, die für sin(x) ungleich Null differenzierbar sind, zusammengesetzt ist - und Summen/Differenzen, Produkte, Verkettungen usw. differenzierbarer Funktionen wieder differenzierbar sind.

Der Schluss, dass X vollständig sei, ist so übrigens falsch. Die hier gegebene Folge ist nur eine spezielle Folge aus Y. Um die Vollständigkeit von X zu zeigen, musst du eine völlig beliebige Cauchyfolge aus X nehmen und zeigen, dass sie in X konvergiert. (Ist aber nicht Bestandteil der Aufgabe, oder?)

19.04.2018, 15:30

Hendrik32

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Aber der Betrag im Nenner ist doch nicht diffbar?

In der Aufgabe steht, es muss gezeigt werden, dass X ein Banachraum ist?

19.04.2018, 19:44

sibelius84

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Richtig. Der Betrag im Nenner ist nicht diffbar. Das Gesamtkonstrukt dieser Funktion aber schon. Das kannst du mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten herausfinden an den Stellen, an denen der Betrag nicht diffbar ist (was genau die Nullstellen des Sinus sind):

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ , wobei x_0 eine Nullstelle des Sinus ist, was den Ausdruck f_n(x_0) schon beträchtlich vereinfacht. Wie vorher schon gesagt: Man kann es lösen, wenn man da eine (bekannte) Ableitung des sin bzw. sin² drin wiedererkennt und abspaltet, um vom Rest dann einfach den Grenzwert bestimmen zu können. Der existiert, also ist (jedes) f_n diffbar. (Es kann gut sein, dass die f_n alle nur 1-mal diffbar sind und nicht 2-mal. Aber 1-mal reicht ja.)

Oha, man soll noch zeigen, dass X vollständig ist. Nun, ich hoffe, in der VL war der Beweis, dass C([a,b]) mit der Supremumsmetrik vollständig ist. Dies könntest du zunächst anwenden auf C([0,T]) (T=Periode) und dann mithilfe der Periodizität der Funktionen auf deinen Raum X verallgemeinern.

19.04.2018, 20:01

Hendrik32

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Danke für deine Hilfe smile

smile

Zitat:

Original von sibelius84

Oha, man soll noch zeigen, dass X vollständig ist. Nun, ich hoffe, in der VL war der Beweis, dass C([a,b]) mit der Supremumsmetrik vollständig ist. Dies könntest du zunächst anwenden auf C([0,T]) (T=Periode) und dann mithilfe der Periodizität der Funktionen auf deinen Raum X verallgemeinern.

Ja das hatten wir zum Glück. Kannst du mir erklären, wie man das dann verallgemeinert. Wie meinst du das?

20.04.2018, 10:44

sibelius84

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Naja, sagen wir mal, du hast eine Cauchyfolge in deinem Raum X. Die Einschränkung der Funktionenfolgenglieder auf das Intervall [0,T] liefert eine Cauchyfolge in C([0,T]). Da dieser Raum nach VL vollständig ist, existiert ein Grenzwert f € C([0,T]). Nun musst du nur noch zeigen, dass die T-periodische Fortsetzung dieses f der Grenzwert der ursprünglichen Funktionenfolge ist. Dafür würde ich benutzen, dass für eine T-periodische Funktion f gilt:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in \mathbb R}f(x) = \sup_{x\in [0,T]}f(x). \end{eqnarray*}$

20.04.2018, 12:29

Hendrik32

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D.h ich betrachte ja wieder die gleichmäßige Konvergenz und bilde das sup nicht über ganz R sondern über R. Aber mit deiner Beziehung folgt doch schon dies zum selben Ergebnis führt?

20.04.2018, 16:30

sibelius84

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Im Prinzip ja. Es ist eine einfache Folgerung aus der in der VL bewiesenen Aussage. Die beiden dürften sogar äquivalent sein.

21.04.2018, 10:20

Hendrik32

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

smile

Also nochmal zur Ableitung der Funktion an der Stelle 0:
Sei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Nullstelle des Sinus

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to x_0} \frac{ x_0 sin^2(\frac{2 \pi}{T} x )}{\frac{1}{n}+ |sin(\frac{2 \pi}{T} x )|} <br /> \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt Fallunterscheidungen für den Betrag macht, ändert es ja nichts am Verhalten. Insgesamt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{x_0 \cdot 0 }{ \frac{1}{n} + 0} = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

21.04.2018, 21:48

sibelius84

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Leider nicht ganz. Richtig ist f_n(x_0)=0. Daraus folgt aber noch nicht x_0=0. Es könnte auch x_0=T sein. Das x_0 muss also unten stehenbleiben.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0}\frac{f_n(x)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0}\frac{\frac{\sin^2\left(\frac{2\pi}{T}x\right)}{\frac 1 n + \lvert \sin\left(\frac{2\pi}{T}x\right) \rvert }}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\sin^2\left(\frac{2\pi}{T}x\right)-\sin^2\left(\frac{2\pi}{T}x_0\right)}{x-x_0} \cdot \lim_{x\to x_0}\frac{1}{\frac 1 n + \lvert \sin\left(\frac{2\pi}{T}x\right) \rvert } \end{eqnarray*}$ .

Dafür, dass man den Limes in ein Produkt zweier Limiten auftrennen darf, muss man noch zeigen, dass diese beiden Limiten existieren. Den Summanden "-sin²((2pi/T)x_0)" durfte ich einfügen, weil er gleich Null ist. So kann man die Ableitung von sin² in der Rechnung wiedererkennen.

22.04.2018, 10:55

Hendrik32

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Danke

smile

Der 2. GW existiert, denn es ergibt sich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{n}} =n \end{eqnarray*}$

Der 1. GW ist doch die Ableitung von sin^2(...) an der Stelle 0. Also dann egtl 2 sin (..) cos(..)
und noch etwas nachdifferenziertes. Es würde sich dann also 0 ergeben und insgesamt dann auch oder?

22.04.2018, 11:31

sibelius84

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Ja, so sieht es wohl aus smile

smile

22.04.2018, 11:40

Hendrik32

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Ich bedanke mich ganz herzlich bei dir für deine Hilfe smile

smile

Ich wünsche dir einen schönen Sonntag smile

smile

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