Bruch-Würfelspiel Wahrscheinlich >1

16.04.2018, 13:37	Bruchspieler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bruch-Würfelspiel Wahrscheinlich >1 Meine Frage: Guten Tag, Ich habe ein einfaches Würfelspiel entwickelt, um die Brüche und Dezimale etwas zu vertiefen (Primar-Niveau). Das Würfelspiel ist einfach. Man würfelt dreimal. Jedes mal, wenn man gewürfelt hat, darf man den Wert als Nenner eintragen. Der Zähler ist immer 1. Am Schluss zählt man die drei Brüche zusammen und schaut, ob man ein höheres Ergebnis hat als der Gegner. Beispiel: Ich würfle die 2,3,5 --> 1/2 + 1/3 + 1/5 = 1.03 (gerundet). Mein Gegner: 4,4,5 --> 1/4 + 1/4 + 1/5 = 0.7. Ich habe gewonnen. Speziell: Wer 1 würfelt hat 1/1 --> sehr vorteilhaft. Nun beschäftigt mich eine simple Frage, die nichts direkt mit dem Spiel zu tun hat. Ist die Chance grösser, dass mein Resultat kleiner oder grösser als 1 wird? Es beschäftigt mich und ich habe schon viele Ansätze überlegt, aber keine überzeugt mich vollends. Meine Ideen: Ansätze Wenn ich das erste Mal (von 3 Würfen) würfle....und....die 1 würfle = 6/6 Chance auf eintreffen des Ereignis, das mein Ergebnis >1 ist. 2 = 3/6 (da die Zahlen 1-3 zum Erfolg führen) 3 = 2/6 (da die Zahlen 1-2 zum Erfolg führen) 4 = 2/6 (gleiche) 5 = 2/6 (gleiche) 6 = 2/6 (gleiche) Weitere Überlegung: - Bei jedem Versuch (von den dreien) ist meine Chance wieder 1/6 dass ich diese Zahl treffe. Ich könnte jetzt viele (sehr wahrscheinlich) falsche Rechnungen meinerseits noch aufschreiben. Das Grundgerüst, die obigen Überlegungen, war aber immer das gleiche. Daher wäre ich um Hilfe froh. Ich bin kein Mathematiker, wie man merkt ;-)
16.04.2018, 14:23	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ganz einfache Überlegungen: Beim dreimaligen Würfelwurf gibt es ingesamt $\begin{eqnarray} 6^3 \end{eqnarray}$ mögliche Kombinationen von Zahlen. Jetzt musst du dir überlegen, welche davon für dein Spiel "günstig" sind. Das wären 111 112* 113* ... 116* 122* 123* ... 126* 133* 134* 135* 136* ... 166* 222 223* 224* 225* 226* 233* 234* 235* 236 nicht mehr! 244* (falls du 1.0 dazu zählst) 333 (falls du 1.0 dazu zählst). *in verschiedener Reihenfolge. Wie viele Kombinationen (edit: richtig müsste es Permutationen heißen) gibt es da jeweils? Und zum Schluss ist deine gewünschte Wahrscheinlichkeit dann die Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. LG
16.04.2018, 14:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich eine reine Fleißarbeit: Man muss diejenigen Tripel zählen, die eine Bruchsumme >1, =1, <1 haben: Tripel mit Bruchsumme ">1": 1xx - das sind $\begin{eqnarray} 6^3-5^3=91 \end{eqnarray}$ 22x - das sind $\begin{eqnarray} 3\cdot 4+1=13 \end{eqnarray}$ 233 - das sind 3 234,235 - das sind je 6 Insgesamt sind das 119 von 216 Tripeln. Jetzt zählen wir mal noch die "=1": Das sind 6 für 236, 3 für 244 und 1 für 333, insgesamt 10 Tripel. Bleiben übrig genau 216-119-10 = 87 Tripel für "<1". EDIT: Huch, paar Minuten zu spät.
16.04.2018, 14:39	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
es kommt es ja nicht immer auf jede Kommastelle an... Eine kurze Simulation ergibt $\begin{eqnarray} p(X>1)\approx 0.549 \end{eqnarray}$ @Kääsee: es sind Permutationen und nicht Kombinationen.
16.04.2018, 14:41	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL9000, schön, dass wir immerhin einer Meinung sind @Dopap: Sorry, bei den "mathematischen Begriffen" bin ich ein wenig aus der Übung. Aber da der Fragesteller ja auch kein Mathematiker ist, denke ich, er hat trotzdem verstanden, was ich meine
16.04.2018, 15:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Terminologie betreffend: Was Kääse aufgelistet hat sind tatsächlich ein Teil der $\begin{eqnarray} \binom{6+3-1}{3}=56 \end{eqnarray}$ verschiedenen Kombinationen von 3 aus 6 (mit Wiederholung). Je nach Mehrfachvorkommen oder nicht besitzt jede dieser Kombinationen 1, 3 oder 6 Permutationen, die dann in ihrer Gesamtheit alle möglichen $\begin{eqnarray} 6^3 = 216 \end{eqnarray}$ Variationen von 3 aus 6 (mit Wiederholung) bilden - letzteres sind dann die "Tripel", von denen ich geredet habe, und deren Anzahl ja letztendlich entscheidend ist für die Laplacesche Wahrscheinlichkeitsberechnung. Genau aufgeschlüsselt gibt es 6 Kombinationen (alle drei Elemente gleich) mit jeweils 1 Permutation 30 Kombinationen (zwei der drei Elemente gleich) mit jeweils 3 Permutationen 20 Kombinationen (alle drei Elemente verschieden) mit jeweils 6 Permutationen D.h. $\begin{eqnarray} 6+30+20=56 \end{eqnarray}$ Kombinationen führen zu $\begin{eqnarray} 6\cdot 1+30\cdot 3+20\cdot 6 = 216 \end{eqnarray}$ Variationen.
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16.04.2018, 21:01	Bruchrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Würfelspiel Wahrscheinlich >1 Guten Abend, Toll, herzlichen Dank für die vielen Inputs und sogar schon das endgültige Resultat. Ich kann das Meiste sogar nachvollziehen. Das mit der Fleissarbeit wäre tatsächlich ja auf der Hand gelegen - aber ich hatte den bekannten Tunnelblick. Mein grundsätzlicher Gedanke war nämlich, wie man die Chance auf >1 mit der Chance überhaupt das Augenpaar zu erwischen verrechnet und dann noch eine richtige Aussage für alle Möglichkeiten macht! Super, wie schnell und ausführlich hier geantwortet wurde. Ich finde es gut, dass sie ihre Talente teilen im Forum.Danke! liebe Grüsse B

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