Aussage mit Integral beweisen

17.04.2018, 21:28

mathestudent97

Aussage mit Integral beweisen

Meine Frage:
Meine Aufgabe:
Sei f: [a,b] -> R stetig differenzierbar, wobei R := reelle Zahlen. Zeigen Sie: Falls $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) = 0 \text{ für ein } x_{0} \in [a,b] \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt: max |f(x)| mit $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \leq \int_{a}^{b} \! |f'(x)| \, dx \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Hierbei kann man nutzen, dass für jede riemann-integrierbare Funktion gilt:
$\begin{eqnarray*} |\int_{a}^{b} \! f'(x) \, dx | \leq \int_{a}^{b} \! |f'(x)| \, dx \end{eqnarray*}$ .
Somit bleibt, wenn ich richtig liege, zu zeigen: max |f(x)| mit $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \leq \end{eqnarray*}$ |f(b) - f(a)| , da ich ein Integral ausrechne, indem ich obere - untere Grenze der Stammfunktion rechne. Die Stammfunktion von f'(x) ist in diesem Fall meine f(x) - Funktion. Nur wie zeige ich die übrig gebliebene Gleichung?

Edit mY+): LaTeX berichtigt. Bitte \text{ ... } für Textabschnitte innerhalb LaTeX verwenden.

18.04.2018, 10:59

Huggy

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RE: Aussage mit Integral beweisen
Sei $\begin{eqnarray*} max \; |f(x)|=|f(x_m)| \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^{x_m} f'(x) dx=\pm (f(x_m)-f(x_0))= \pm f(x_m) \end{eqnarray*}$

Der Rest sollte klar sein.

18.04.2018, 13:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathestudent97
Somit bleibt, wenn ich richtig liege, zu zeigen: max |f(x)| mit $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \leq \end{eqnarray*}$ |f(b) - f(a)|

Da hast du die Betragszeichen um das $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ im Integranden ignoriert, und prompt ist diese deine Aussage

$\begin{eqnarray*} \max_{x\in [a,b]} |f(x)| \stackrel{?}{=} |f(b)-f(a)|\qquad (*) \end{eqnarray*}$

falsch, und somit ganz sicher nicht beweisbar. Was eigentlich ziemlich offensichtlich ist: Z.B. ist wirklich jede Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , die auch den restlichen Voraussetzungen genügt, ein passendes Gegenbeispiel für (*).

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