Grenzwert für Reihe berechnen

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18.04.2018, 14:08	petergmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert für Reihe berechnen Meine Frage: Hallo habe eine Frage zum Grenzwert für unendliche Reihen: Die Reihe lautet: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } k^2/k! \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Das diese Reihe Konvergiert habe ich schon herausgefunden, aber wie man den GW berechnet nicht, und ich habe auch keine Idee wie das funktionieren soll. Ich habe vermutet, dass er irgendwo bei e liegen muss, laut mathematica ist er bei 2e, aber ich weiß nicht wie ich auf die 2e komme. Schon mal danke für eure Hilfe.
18.04.2018, 14:14	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der erste Summand fällt weg, danach kannst du eine Indexverschiebung machen, sodass du wieder bei 0 anfängst. Nun schau, was du kürzen kannst und was überbleibt.
18.04.2018, 14:37	petergmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich kann dir nicht ganz folgen... Bis jetzt habe ich das so verstanden: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=}^{\infty } \frac{k^2}{k!} = \frac{0^2}{0!} + \frac{1^2}{1!} + \frac{2^2}{2!}+ ...<br /> <br /> = \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{k^2}{k!} \end{eqnarray}$ aber wenn ich hier dann wieder den Index k auf 0 setzte verändert sich ja nichts bzw. ist das selbe wie vorhin.
18.04.2018, 14:43	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir noch einmal an, wie eine Indexverschiebung wirklich funktioniert, es bedeutet jedenfalls nicht, einfach nur den Reihenstartwert zu verändern, ohne sonst etwas anzupassen. Zum Beispiel bei Wikipedia wird das erklärt.
18.04.2018, 14:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessanterweise ist das von Guppi12 geschilderte Prinzip geeignet, sämtliche Reihenwerte der Struktur $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} p(k) \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray}$ für gegebene Werte $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sowie Polynome $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ zu berechnen. Man kann sich dabei darauf stützen, dass die Polynome $\begin{eqnarray} p_m(k):=k(k-1)\cdot \ldots \cdot (k-m+1) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m=0,1,2,\ldots \end{eqnarray}$ eine Basis des Polynomraumes bilden.
18.04.2018, 15:26	petergmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie die Indexverschiebung funktioniert ist mir schon klar: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{k^2}{k!} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k^2}{k!}<br /> = (\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{k^2}{k!})+\frac{n^2}{n!} \end{eqnarray}$ nur weiß ich nicht wie ich daraus auf den GW von 2e kommen soll...
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18.04.2018, 15:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier um die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^2}{k!} \end{eqnarray}$ statt um die Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \frac{k^2}{k!} \end{eqnarray}$ , soviel dazu. Und zweitens beinhaltet eine Indexverschiebung die entsprechende Änderung des Summationsterms! Richtig wäre da also $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)^2}{(k+1)!} \end{eqnarray}$ Und jetzt unter Nutzung von $\begin{eqnarray} (k+1)! = k!\cdot (k+1) \end{eqnarray}$ kürzen.
18.04.2018, 15:50	petergmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Oke danke jetzt habe ich es verstanden! Der letze Schritt hat mir gefehlt! durchs kürzen ergibt sich dann bei mir: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{k+1}{k!} = \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{k}{k!} + \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{k!} = \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{(k-1)!} + e = 2e \end{eqnarray}$ So sollte es dann passen! Vielen Dank für eure Hilfe!!!
18.04.2018, 15:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt fast: Die allerletzte Summe sollte $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} \end{eqnarray}$ lauten, denn im Fall $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ kürzt man nicht, sondern entfernt den Summand (weil er Null ist) - wie oben ja auch schon. Zudem ist $\begin{eqnarray} (-1)! \end{eqnarray}$ gar nicht definiert. --------------------------------------------- Für oben erwähntes $\begin{eqnarray} p_m(k):=k(k-1)\cdot \ldots \cdot (k-m+1) \end{eqnarray}$ kann man übrigens gleich in einem Rutsch kürzen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} p_m(k) \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=m}^{\infty} k(k-1)\cdot \ldots \cdot (k-m+1) \frac{x^k}{k!} = x^m \sum_{k=m}^{\infty}\frac{x^{k-m}}{(k-m)!} = x^m e^x\qquad () \end{eqnarray}$ Ein beliebiges Polynom $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ kann man nun als Linearkombination dieser $\begin{eqnarray} p_m \end{eqnarray}$ darstellen und hat damit über () direkt auch den Reihenwert $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} p(k) \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray}$ . Im vorliegenden Fall wäre das $\begin{eqnarray} p(k)=k^2 = k(k-1)+k = p_2(k) + p_1(k) \end{eqnarray}$ , und somit $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} k^2\frac{x^k}{k!} = (x^2+x)e^x \end{eqnarray}$ , was speziell für $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} 2e \end{eqnarray}$ ergibt.

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