Eigenwert ist eine reelle Zahl?

18.04.2018, 21:42

Chloe 18

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Eigenwert ist eine reelle Zahl?

sei n>=2. Jeder EW einer Matrix A= $\begin{eqnarray*} (a_{ij})_{ij} \in Mat_{n}(C) \end{eqnarray*}$ mit alle $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl. ----> Ich soll beweisen oder widerlegen.

ich vermute, dass die Behauptung falsch ist!
was sagt Ihr dazu?
Vielen Dank

18.04.2018, 23:01

HAL 9000

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Insbesondere wegen dieser ominösen Formulierung "mit alle $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ " beschleicht mich der Verdacht, dass du die Aussage verstümmelt wiedergegeben hast. Überprüf das mal bitte, und korrigiere die Formulierung im Bedarfsfall.

19.04.2018, 11:06

Chloe 18

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$\begin{eqnarray*} mit alle a_{ij}\in R \end{eqnarray*}$ so sollte es sein

19.04.2018, 11:46

HAL 9000

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Tja, dann widerlege das mal durch Angabe eines Gegenbeispiels, am besten für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ . Damit das Beispiel schön einfach wird, platzieren wir doch gleich mal nur Nullen auf der Hauptdiagonale...

19.04.2018, 12:10

Chloe 18

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Sei A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1+2i \\ 2-3i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} Mat_{2} \in (C) \end{eqnarray*}$ und t EW von A

dann gilt: det(tE - A)=0

dann rechne ich Det ...
Bin ich richtig?

19.04.2018, 12:16

Chloe 18

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Zitat:

Original von Chloe 18

$\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ sind doch reelle Zahlen... dann halt so
Sei A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} Mat_{2} \in (C) \end{eqnarray*}$ und t EW von A

dann gilt: det(tE - A)=0

dann rechne ich Det ...
Bin ich richtig?

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19.04.2018, 12:34

Chloe 18

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char. Polynom : t^2 - 2

und EW sind: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

19.04.2018, 12:42

klarsoweit

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Tja, da hast du leider ein Beispiel erwischt, wo die Eigenwerte reelle Zahlen sind. Einen Versuch hast du noch frei. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.04.2018, 12:58

Chloe 18

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ich glaube nicht dass ich so eine Matrix finde.
dh, Jeder EW ist eine reelle Zahl.

mir verwirrt nur dass die Matrix über Körper C ist

19.04.2018, 13:03

HAL 9000

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Vergeige es doch nicht kurz vor der Ziellinie... Wie sieht denn $\begin{eqnarray*} \det(tE-A) \end{eqnarray*}$ aus, wenn du die Nebendiagonalelemente zunächst noch offen lässt? D.h., wir reden über $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & u \\ v & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit irgendwelchen später noch geeignet festzulegenden Werten $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ .

19.04.2018, 13:25

Chloe 18

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Zitat:

Original von HAL 9000
Vergeige es doch nicht kurz vor der Ziellinie... Wie sieht denn $\begin{eqnarray*} \det(tE-A) \end{eqnarray*}$ aus, wenn du die Nebendiagonalelemente zunächst noch offen lässt? D.h., wir reden über $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & u \\ v & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit irgendwelchen später noch geeignet festzulegenden Werten $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} t^2 - vu \end{eqnarray*}$

19.04.2018, 13:56

HAL 9000

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Richtig. Alles was du nun noch tun musst ist reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ zu finden mit der Eigenschaft, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} t^2 - uv = 0 \end{eqnarray*}$ keine reellen, sondern nur echt komplexe $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Lösungen besitzt. Das sollte doch machbar sein!

19.04.2018, 14:08

Chloe 18

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dann sind v=1 und u= -1
und t^2 +1=0
t^2 = -1 => und das gilt nur in Q

19.04.2018, 14:10

HAL 9000

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"das gilt nur in Q" soll wohl heißen "das ist nur in C lösbar".

19.04.2018, 14:12

Chloe 18

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ja....ich meinte C hab nicht aufgepasst (((

sorry, und vielen dank

19.04.2018, 14:17

Chloe 18

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hast du noch vllt Ideen für die andere Frage(über Abbildungen "Eigenwerte und Eigenvektoren")?

19.04.2018, 14:26

HAL 9000

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Da muss ich wohl mal meine Brille putzen, denn ich sehe keine diesbezügliche Frage hier im Thread. verwirrt

verwirrt

19.04.2018, 14:29

Chloe 18

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ich hab neues Thema "Eigenwerte und Eigenvektoren" gestellt smile

smile

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