Werfen zweier Würfel

19.04.2018, 20:55

mnana212

Werfen zweier Würfel

Meine Frage:
Sehr geehrte Damen und Herren,

demnächst steht mir eine Matheklausur bevor, alle anderen Themenbereiche habe ich im Prinzip ganz gut drauf. Stochastik eigentlich auch da einige Inhalte doch ganz simpel sin.
Und doch komme ich bei der folgenden Aufgabe einfach nicht weiter, habe auch schon diverse Baumdiagramme und Vierfeldertafeln angelegt:

" Zwei Würfel werden geworfen. Untersuchen Sie die Ergebnisse E und F auf Unabhängigkeit und bestimmen Sie P E(F).
Dabei ist E:"Der erste Würfel zeigt eine 6 und
a) F:"Die Augensumme beträgt 7."
b) F:"Die Augensumme beträgt 8.""

Ich bedanke mich für eure Antwort schon im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen
N.M.

Meine Ideen:
Geg.: P(E)=6 Ges.: P E(F)
a) P(E)=7
b) P(E)=8
Der erste Zweig des Baumdiagramms ist P(E), der folgende P E(F) und der letzte, wo die gegebenen Zahlen bzw. Brüche multipliziert werden, ist P(E geschnitten F) also P(E)*P E(F)

Es gilt:
Außerdem sind E und F stochastisch unabhängig.

20.04.2018, 10:45

klauss

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RE: Werfen zweier Würfel

Zitat:

Original von mnana212
Geg.: P(E)=6 Ges.: P E(F)
a) P(E)=7
b) P(E)=8

Die Schreibweise geht so nicht, denn die durch P(...) symbolisierten Wahrscheinlichkeiten müssen im Bereich 0 bis 1 liegen.
Und was ist "P E(F)"? Soll das $\begin{align*} P(E|F) \end{align*}$ heißen?
Also nochmal sauberer:
$\begin{align*} E \end{align*}$ : Der erste Würfel zeigt eine 6
$\begin{align*} F_{1} \end{align*}$ : Die Augensumme beträgt 7
$\begin{align*} F_{2} \end{align*}$ : Die Augensumme beträgt 8
$\begin{align*} P(E) \end{align*}$ = 1/6
$\begin{align*} P(F_{1}) \end{align*}$ = ?
$\begin{align*} P(F_{2}) \end{align*}$ = ?
Bestimme erstmal die beiden fehlenden Wahrscheinlichkeiten. Hierzu empfehle ich stets das folgende "Augensummendiagramm".
Welche Wahrscheinlichkeiten haben die einzelnen Augensummenfelder des Diagramms?

20.04.2018, 11:33

HAL 9000

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RE: Werfen zweier Würfel

Zitat:

Original von klauss

Zitat:

Original von mnana212
Geg.: P(E)=6 Ges.: P E(F)
a) P(E)=7
b) P(E)=8

Die Schreibweise geht so nicht

Sehe ich auch so - gemeint ist wohl folgendes: Bezeichnet man zusätzlich noch die Zufallsgrößen für die Würfelaugenzahlen mit $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ , so bestehen folgende Verbindungen zwischen Zufallszahlen und Ereignissen:

$\begin{eqnarray*} E = \left\{X_1=6\right\} \end{eqnarray*}$

a) $\begin{eqnarray*} F = \left\{X_1+X_2=7\right\} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} F = \left\{X_1+X_2=8\right\} \end{eqnarray*}$

Zu beachten ist, dass diese Schreibweisen rechts im Sinne $\begin{eqnarray*} \left\{X_1=6\right\}:=\left\{\omega\in\Omega:\; X_1(\omega)=6\right\} \end{eqnarray*}$ usw. gemeint sind. Mitunter verwendet man für diese Kurzschreibweise auch eckige Klammern, also $\begin{eqnarray*} \left[X_1=6\right] \end{eqnarray*}$ , jedenfalls lässt man bei Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen diese Klammern jeweils weg, d.h., man schreibt für $\begin{eqnarray*} P(E) \end{eqnarray*}$ weder $\begin{eqnarray*} P\left(\left\{X_1=6\right\}\right) \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} P\left(\left[X_1=6\right]\right) \end{eqnarray*}$ sondern schlicht $\begin{eqnarray*} P\left(X_1=6\right) \end{eqnarray*}$ . Im Sinne exakter Symbolik der Mengenleere muss man das sicher als inkonsequent ansehen, aber Schreibfaulheit (in Kombination mit kaum Verwechslungsgefahr) siegt in diesem Fall. Augenzwinkern

Womöglich trägt aber auch diese Inkonsequenz dazu bei, dass man bei Anfängern mitunter haarsträubende Schreibweisen wie die oben unter "Meine Ideen" zu lesenden antrifft.

Zitat:

Original von klauss
Und was ist "P E(F)"? Soll das $\begin{align*} P(E|F) \end{align*}$ heißen?

Hmm, falls das $\begin{eqnarray*} P_E(F) \end{eqnarray*}$ heißen soll, wäre es gerade umgekehrt: Denn unter $\begin{eqnarray*} P_E \end{eqnarray*}$ versteht man gewöhnlich das bedingte Wahrscheinlichkeitsmaß unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} P_E(F) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(F\mid E) \end{eqnarray*}$ sind da synonym. Aber da muss mnana212 Auskunft geben, "wie rum" sie diese bedingte Wahrscheinlichkeit hier meint.

20.04.2018, 12:19

klauss

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RE: Werfen zweier Würfel

Zitat:

Hmm, falls das $\begin{eqnarray*} P_E(F) \end{eqnarray*}$ heißen soll, ...

Tut es wahrscheinlich, hätte ich auch vorher draufkommen können.

Die strenge Symbolik mit verschiedenen Klammern und Omegas kenne ich aus der einen oder anderen Vorlesung, im Schulbereich kann man das Rechnen mit Zufallsvariablen etwas lockerer handhaben, aber gewisse Mindestanforderungen an Präzision müssen schon gewahrt bleiben.
Mal sehen, ob sich der Fragesteller nochmal meldet.

20.04.2018, 14:00

HAL 9000

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Für die vorliegenden Problemstellungen a) und b) wäre $\begin{eqnarray*} P(F\mid E) \end{eqnarray*}$ aber irgendwie arg langweilig. Die "umgekehrten" Fragestellungen $\begin{eqnarray*} P(E\mid F) \end{eqnarray*}$ sind wenigstens noch halbwegs interessant. Augenzwinkern

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