Differentialgleichung

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20.04.2018, 22:00

Maxiking33

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Differentialgleichung

Kann mir jemand helfen bei dieser Aufgabe?

20.04.2018, 22:38

Helferlein

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(a) Woran scheiterst Du? Es steht doch schon da, welches Verfahren Du anwenden sollst.

(b) Verwende die Substitution $\begin{eqnarray*} z=\frac yx \end{eqnarray*}$

21.04.2018, 09:04

Maxiking33

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21.04.2018, 09:22

sibelius84

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Hi,
springe mal kurz mit einer zeitnahen Antwort in die Bresche, so lange Helferlein vielleicht/hoffentlich noch bei einem schönen Frühstück sitzt Augenzwinkern

Nach y umformen durch Multiplikation mit (-1) und Logarithmieren!

LG
sibelius84

21.04.2018, 09:30

Maxiking33

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a)

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = e^{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{e^{y}} = dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-y}*dy = dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - e^{-y} = x+C \end{eqnarray*}$

multiplikation mit -1:

$\begin{eqnarray*} e^{-y} = -x-C \end{eqnarray*}$

ln auf beiden Seiten:

$\begin{eqnarray*} -y=ln( x+C ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=-ln( x+C ) \end{eqnarray*}$

Richtig ?

21.04.2018, 10:33

Helferlein

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@sibelius: Besser als Frühstück. Samstags ist Ausschlafen angesagt.

@Maxiking: Beim Logarithmieren ist dir das Minus abhanden gekommen. Ansonsten korrekt.
Als nächstes käme er Anfangswert ins Spiel und dann die Probe.

21.04.2018, 10:57

Maxiking33

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a)

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = e^{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{e^{y}} = dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-y}*dy = dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - e^{-y} = x+C \end{eqnarray*}$

multiplikation mit -1:

$\begin{eqnarray*} - e^{-y} = x+C \end{eqnarray*}$

ln auf beiden Seiten:

$\begin{eqnarray*} y=ln( x+C ) \end{eqnarray*}$

So?

Ich dachte auf beiden Seiten sollte mit -1 multipliziert werden?

21.04.2018, 12:06

Helferlein

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Es geht um diesen Schritt:

Zitat:

Original von Maxiking33
$\begin{eqnarray*} e^{-y} = -x-C \end{eqnarray*}$

ln auf beiden Seiten:

$\begin{eqnarray*} -y=ln( x+C ) \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite änderst Du ohne Grund die Vorzeichen.

21.04.2018, 15:36

Maxiking33

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y(0) = 1

Das war die a)?

21.04.2018, 15:53

Helferlein

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Welche Lösung hast Du denn jetzt und wieso y(0)=1, wo doch n der Aufgabe y(0)=0 gefordert wird verwirrt

21.04.2018, 18:10

Maxiking33

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y(0) soll ich dann wo einsetzen ?

21.04.2018, 18:55

Helferlein

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Falls es Dir nicht bewusst ist: Die allgemeine Lösung, die Du bei deinen Umformungen erhältst ist eine Funktion y(x).
Sie enthält den Parameter c, den Du durch Einsetzen der Anfangswertbedingung erhältst. Für x=0 soll y(0)=0 gelten.

21.04.2018, 22:02

Maxiking33

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y(0)= ln (0)

21.04.2018, 22:24

Helferlein

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Lege erst einmal eine Pause ein und denke in Ruhe über die Aufgabe nach.
Ich werde mich heute dazu nicht mehr äußern, da wir inzwischen bei grundsätzlichen Fragen (Was ist eine Funktion und wie berechnet man Funktionswerte) angekommen sind, die ein Student aus dem ff können sollte.

22.04.2018, 09:36

Maxiking33

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y(x) = ln(x+C)

y(0) =ln(0+C)

So dachte ich?

22.04.2018, 10:41

Helferlein

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Ich dachte, den Vorzeichenfehler hätten wir gestern um 10:33 bzw. 12:06 schon geklärt.

Es ist $\begin{eqnarray*} e^{-y}=-x-c \end{eqnarray*}$ . Logarithmieren führt auf $\begin{eqnarray*} -y=ln(-x-c) \Leftrightarrow y=-ln(-x-c) \end{eqnarray*}$
Das ist nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} y(x)=ln(x+C) \end{eqnarray*}$ .

Dort setzt Du y=0 und x=0 ein, um c zu bestimmen.

Danach leitest Du die Funktion zur Probe ab und vergleichst das Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} e^{y(x)} \end{eqnarray*}$ .

Ich werde heute kaum online sein und kann Dir daher erst am späten Abend weiterhelfen. Es kann also gerne jemand anderes übernehmen, wenn noch Fragen entstehen.

22.04.2018, 11:41

Maxiking33

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y= -ln(0) = 0

y=0

Richtig?

22.04.2018, 18:40

grosserloewe

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nein das ist so falsch , ln(0) ist gar nicht definiert.

die Lösung steht ja schon im Beitrag:

y = - ln(-x-c)

0= -ln( -0 -c)

0= -ln (-c) | *(-1)

0= ln(-c) | e hoch

1 = -c

c= -1

->

Lösung :

y= -ln(1-x)

22.04.2018, 20:22

Maxiking33

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b)
$\begin{eqnarray*} y' = (1+z)^2 -z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = z^2+2z+1 -z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = z^2+z+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dz} = z^2+z+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{1} =( z^2+z+1 )*dz \end{eqnarray*}$

Jetzt links und rechts integrieren?

22.04.2018, 22:32

Helferlein

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Nein,auch das Verfahren wendest Du nicht korrekt an. Du suchst die Funktion y, es bringt Dir also nichts, wenn Du sie in eine Gleichung mit einer weiteren unbekannten Funktion z packst.
Du solltest y durch z ersetzen.

Mit $\begin{eqnarray*} z=\frac yx \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y'=(zx)'=z+z'x \end{eqnarray*}$ .
Nach der Substitution heisst die Gleichung also $\begin{eqnarray*} z+z'x=(1+z)^2-z \end{eqnarray*}$

25.04.2018, 16:15

Maxiking33

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z^2+2z+1-z = z^2+z+1

Wie geht es weiter ?

25.04.2018, 16:23

HAL 9000

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Nicht immer nur mit halbgewalkten Termen rumwerfen - betrachte die gesamte $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -DGL und stelle sie erst nach $\begin{eqnarray*} z' \end{eqnarray*}$ um, und schau dann was damit zu machen ist (Stichwort "Trennung der Variablen").

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