Aufgabe zu Banachräumen

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alex133 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Banachräumen
Hi, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
[attach]46956[/attach]

Und zwar bei der letzten Frage, also bei der Vereinfachung dieser Formel. Den ersten Teil habe ich geschafft, also denke ich der Großteil ist erledigt . Wie gehe ich bei der 2. Frage vor? Ich könnte mir vorstellen, dass man auf irgendeine Funktion anwendet und versucht das ganze so zu vereinfachen aber ich weiß nicht wie ich dabei verwenden soll, dass X=Y und f(t) und f'(t) kommutieren

Danke für eure Hilfe schonmal im Vorhinein!
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

es ist ganz hilfreich, sich das mal für den Fall X = Y = |R (und dann auch L_b(X,Y) = |R, bis auf Isomorphie) zu überlegen. Da gilt ja für differenzierbares f und g=1/f:

(zB mit der Kettenregel). Also liefert dies hier schon mal die richtige Formel. Ein Schritt für diese Aufgabe dürfte also sein, zu vereinfachen zu . Dies scheint erstmal alleine daraus zu folgen, dass f(t) und f'(t) kommutieren.

Aber: Obacht! Die Multiplikation bedeutet hier die Komposition von Abbildungen - man kann sich dies auch als Matrizenmultiplikation vorstellen, wobei die beteiligten Matrizen dann aber unendlich sein können -, so dass auch noch die Definitions- und Bildbereiche beachtet werden müssen. Man kann zwei Abbildungen Y->X (gemeint ist damit f^{-1}) nicht miteinander verknüpfen. Daher braucht man auch noch die zusätzliche Voraussetzung Y=X.

LG
sibelius84
alex133 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ich denke mit ist die Umkehrabbildung von gemeint und nicht
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist in dieser Aufgabe tatsächlich etwas frickelig. Aber: Die Komposition von Endomorphismen entspricht ja (zumindest im endlichdimensionalen Fall) der Multiplikation ihrer Abbildungsmatrizen. f(t)^{-1} ist also der inverse Endomorphismus (Automorphismus) zu f(t), man kann sich dies als inverse Matrix vorstellen. Und dies bedeutet bei Zahlen ("1x1-Matrizen") einfach Division.

Außerdem: Wäre mit f(t)^{-1} eine Umkehrabbildung f^{-1} gemeint, so müsste die ja von L_b(X,Y) nach [a,b] abbilden, was mir etwas merkwürdig vorkäme.
alex133 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank für deine Erklärungen.
Eine weitere Vereinfachung der Formel ist wahrscheinlich ni ht möglich oder?
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