Abbildungen Surjektivität

21.04.2018, 22:41

Snexx_Math

Abbildungen Surjektivität

Hallo zusammen,

erstmal eine kurze Nachfrage: Wenn eine Abbildung f:A \rightarrow B surjektiv ist , folgt dann $\begin{eqnarray*} f(A)=B \end{eqnarray*}$ ?

allgemein kann man bei Abbildungen ja folgern , dass $\begin{eqnarray*} f(A) \subset B \end{eqnarray*}$

konkret wollte ich damit folgende Aufgabe beweisen:

$\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow B , g: B \rightarrow C \end{eqnarray*}$

f surjektiv und g surjektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow g \circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv:

Da f surjektiv: $\begin{eqnarray*} f(A)=B \end{eqnarray*}$ (I)
Da g surjektiv: $\begin{eqnarray*} g(B)=C \end{eqnarray*}$

Aus (I) folgt mit Anwendung von g : $\begin{eqnarray*} g(f(A))=g(B)=C \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} g\circ f(A)=C \Leftrightarrow g \circ f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv

Passt das so ?

LG Snexx_Math

22.04.2018, 10:45

sibelius84

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RE: Abbildungen Surjektivität
Hi!

Zitat:

Original von Snexx_Math
erstmal eine kurze Nachfrage: Wenn eine Abbildung f:A \rightarrow B surjektiv ist , folgt dann $\begin{eqnarray*} f(A)=B \end{eqnarray*}$ ?

Ja, so ist es.

Zitat:

allgemein kann man bei Abbildungen ja folgern , dass $\begin{eqnarray*} f(A) \subset B \end{eqnarray*}$

Nochmal Ja.

Die Bearbeitung der Aufgabe sollte so passen. Häufig werden solche Beweise mit Elementen statt direkt mit den Mengen geführt; was du mit den Mengen machst, ist aber sogar etwas kürzer und eleganter. Beim letzten Schritt würde ich, obwohl es sogar korrekt ist, nicht das Äquivalenzzeichen benutzen. Es war ja keine Äquivalenz zu zeigen. Ich würde zB einfach schreiben: "Daraus folgt, dass gof surjektiv ist."

LG
sibelius84

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