Zahlentheorie Induktion n-te Primzahl < 2^2^(n-1) |
21.04.2018, 23:28 | muff-in | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zahlentheorie Induktion n-te Primzahl < 2^2^(n-1) ich soll mit einem Induktionsbeweis zeigen, dass wenn p_n die n-te Primzahl ist (p_1=2, p_2=3, ...) es kleiner gleich als 2^2^(n-1) ist. Induktionsanfang: Fuer p_1 = 2 gilt: 2 =< 2^2^(1-1) = 2 Induktionsschritt von n nach n+1: p_(n+1) =< 2^2^(n+1-1) p_(n+1) =< 2^2^n Wie kann ich jetzt weiter vorgehen? Waere fuer einen kleinen Tipp sehr dankbar |
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21.04.2018, 23:53 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Grundlage des Induktionsschrittes kann der Euklid-Beweis zur Unendlichkeit der Primzahlmenge sein. |
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22.04.2018, 13:18 | muff-in | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hmm, ich kenne den Euklid-Beweis, aber ich verstehe nicht wie ich ihn hier anwenden kann :/ Edit: koennte ich sagen, p_n+1 = das Produkt aller Primzahlen bis p_n + 1 und das ganze ist nach der Induktionsannahme kleiner als 2^2^(n-1) + 1? Edit2: Und da 2^2^(n-1) +1 kleiner ist als 2^2^n ist der Induktionsbeweis fertig? Edit3: Nein moment, wenn p_n+1 das Produkt alle Primzahlen bis p_n +1 ist, ist ja p_n +1 nicht die naechst hoehere Primzahl bzw. sie ist sowieso keine Primzahl. Also streich alles was in Edit und Edit2 steht, das ergibt keinen Sinn :/ |
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22.04.2018, 15:20 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da ist richtiges dabei, aber es ist nicht konsequent zuende gedacht: ist nach Konstruktion durch keine der Primzahlen teilbar, demnach gilt für den kleinsten Primteiler von auf jeden Fall und somit . Andererseits ist natürlich auch , so dass insgesamt gilt , letzteres nach Induktionsvoraussetzung. Der Rest sollte dann nicht mehr so schwer sein. |
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22.04.2018, 21:33 | muff-in | Auf diesen Beitrag antworten » |
Habs verstanden, dankeschoen. Man muss dann noch nach oben abschaetzen. |
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