Polynom - Ideal

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Sven500 Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom - Ideal
Hallo,
wenn ich ein Polynom über einen Ring R in 2 Variablen habe:
Ich soll zeigen, dass das Ideal kein Hauptideal ist.
Ich komme einfach nicht auf die Beweisidee. Kann mir da jmd einen Gedankenanstoß geben. smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das von den beiden Polynomen X und Y erzeugte Ideal (X,Y) besteht aus allen Polynomen aus K[X,Y], deren Absolutglied gleich 0 ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom P ein Erzeuger von (X,Y), dann müsste P ein Teiler sowohl von X als auch von Y sein, was nur auf die konstanten Polynome ungleich 0 zutrifft. Diese sind aber in (X,Y) nicht enthalten.

Woher weiß ich das nach einmal gucken ? Von unserem Alleswisser Wiki: https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptideal Tipp: Bei einfachen Fragen und sommerlichen Temperaturen gucke ich immer erst mal bei unserem Alleswisser nach, bevor ich dicke Bücher wälze und ins Schwitzen komme. Augenzwinkern

Anschließend würde ich mich vielleicht dazu aufraffen, über den Unterschied zwischen Körper K und Ring R nachzudenken.
 
 
Sven500 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis.
Das habe ich auch schon gesehen, aber das Problem war, dass mein Ideal doch anders definiert ist: ax+by?
Ja in einem Körper existieren auch Inverse Elemente, in einem Ring nicht.
Der Unterschied ist mir leider auch noch nicht klar. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In einem Körper ist ist jedes von 0 verschiedene Element invertierbar, das muss in einem Ring nicht so sein. Das Ideal ist genau so und nicht anders definiert. Soweit ich sehe geht die Argumentation völlig analog durch. Siehst du irgendein Problem ? Über K kann man schreiben , über R geht das nur für invertierbare . Aber sonst ?
Sven500 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Das Ideal ist genau so und nicht anders definiert.


Das "+" ist in der Definition ist mir noch nicht ganz klar.
Warum ist das Absolutglied 0 ? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist der Polynomring in 2 Unbestimmten über dem Ring , die Addition ist die Polynomaddition im diesem Polynomring.
Für enthält jedes Glied von die Unbestimmte und jedes Glied von die Unbestimmte , also ist das Absolutglied von gleich 0. Für ist das Absolutglied auch 0.
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