Vereinigung von Abschlüssen

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Croomer Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung von Abschlüssen
Meine Frage:
[attach]46973[/attach]

Ist leider leicht verschwommen, aber ich musste das als Bild hochladen, da alles was ich zwischen ["latex"] und ["/latex"] schreibe, irgendwie nicht angezeigt wird.

Meine Ideen:
Zu a)
Es gilt:
[attach]46974[/attach]
Die 1. Bedingung liefert uns, dass auch der Schnitt mit B nicht {} sein kann.
Die 2. Bedingung liefert uns folgendes:
i) Der Durchschnitt liegt in B und folglich ist x in B.
ii) Der Durchschnitt liegt nicht in B, dann ist x Randpunkt von B und liegt im Komplement von B.

Zu b)
Angenommen, die Aussage gilt nicht, dann gibt es Ranpunkte von B die keine Randpunkte von A sind. Sei x einer dieser Randpunkte:
[attach]46975[/attach]
Das ist ein Widerspruch dazu, dass die Aussage nicht gilt.

Ich bin mir nicht, sicher, ob das so stimmt. Vor allem versuche ich mir ein Beispiel auszudenken, das zeigt, wieso das nur für endliche Vereinigungen gilt.

Wäre ein Beispiel:
Ai=(1/i;2] ?
Dann ist der Abschluss [1/i;2] und die Verinigung aller Abschlüsse (0,2]
Allerdings ist die Vereinigung aller A (0,2] und der Abschluss [0,2], also gilt b) nicht, wenn es unendliche Vereinigungen sind, oder?

Grüße
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich glaube, bei (a) machst du es dir etwas zu kompliziert. Du musst ja für ein zeigen, dass . Das heißt, es gibt ein festes k, so dass . Also - da wir zum Glück noch in einem metrischen, und nicht in einem allgemeinen topologischen Raum sind - können wir eine Folge wählen mit . Also... und ich merke gerade, dass ich eigentlich schon viel zu viel verraten habe - den letzten Schritt schaffst du bestimmt selber Augenzwinkern

Bei (b) folgt eine Inklusionsrichtung natürlich mit (a); es bleibt zu zeigen, dass ein beliebiges auch in liegt. Zu solch einem x gibt es eine Folge in , die dagegen konvergiert. Ziel ist es, eine (dann automatisch ebenfalls gegen x konvergente) Teilfolge aus einem A_k auszuwählen. Entweder A_k enthält unendlich viele Folgenglieder, dann geht das. Oder A_k enthält nur endlich viele Folgenglieder, dann geht das nicht. Dann müsste man irgendeine andere Menge A_m auftreiben, die unendlich viele Folgenglieder enthält. Die (theoretisch) bestehende Gefahr ist die, dass alle Mengen nur endlich viele Folgenglieder enthalten und man das Ziel, eine Teilfolge in einem solchen "A" zu wählen, nicht erreichen kann. Das ist die Gefahr, die du ausmerzen musst (indem du sie annimmst und zum Widerspruch führst).

LG
sibelius84
Croomer Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)
Das macht diese Frage relativ einfach oder? Vielleicht auch nur weil du das mit den Folgen verraten hast smile
Wenn eine Folge aus A (und damit aus B) gegen einen Wert der nicht in A konvergiert, so ist dieser Häufungspunkt von A. Somit liegt dieser im Abschluss von A. Ist die Folge konvergent gegen einen Punkt in B, so ist der Punkt im inneren von B, wenn nicht so ist er Häufungspunkt von B und im Abschluss von B.

zu b)
Angenommen, alle meine A sind endlich, dann wäre doch die endliche Vereinigung aller A auch endlich, weshalb es keine unendliche Folge, die gegen x konvergiert, in B gäbe. Dann ist x aber kein Randpunkt von B, was ein Widerspruch zu Annahme ist.

Falls das stimmt, wüsstest du ein Beispiel, wieso das bei der Vereinigung unendlich vieler A nicht gilt?
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